cosh z besitzt für jedes z ∈ ℂ die folgende absolut konvergente Reihenentwicklung?

Question

Gegeben ist Cosinus hyperbolicus

Aufgabe:
cosh z besitzt für jedes z ∈ ℂ die folgende absolut konvergente Reihenentwicklung?
$\text{cosh }z = \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}$

Problem/Ansatz:
Muss ich da einfach etwas mit der Taylorreihe rechnen?
Weiß nicht genau, wie ich es zeigen soll.
Danke für jede Hilfe :)

Answer 1

Du nimmst einfach die Exponentialreihe $e^w = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!}$ und setzt sie ein in die Definition

$$\cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}2$$

Etwas rumrechnen, fertig.

Du kannst natürlich auch die Taylor-Reihe entwickeln und dann zeigen, dass ihr Konvergenzradius unendlich ist.

Ergänzung:

$$\frac 12\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} + \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-z)^n}{n!} \right) = \frac 12\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} + \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^n}{n!} \right)$$

$$= \frac 12\left(\sum \limits_{\stackrel{n=0}{n\; gerade}}^{\infty}2\frac{z^n}{n!}\right) \stackrel{n=2k}{=} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}$$

Comments

Bin irgendwie bei $\frac{1}{2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\frac{n!}{x^{n}}$ gelandet und komme nicht weiter.

Ich habe glaube ein Fehler gemacht xd

Könnten Sie mir da weiterhelfen ?

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Geht klar. Ich ergänze meine Lösung in paar Minuten.

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vielen dank :)

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Warum fällt die (-1)ⁿ weg? Ich verstehe das nicht ganz und danke für die Ergänzung

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Schreib das doch mal für die ersten 4 Glieder auf.

Wenn n ungerade ist, dann ist $(-1)^n = -1$. Dann hast du $\frac{z^n}{n!}-\frac{z^n}{n!} = 0$ Wenn n gerade ist, dann ist $(-1)^n = 1$. In dem Fall hast du $\frac{z^n}{n!}+\frac{z^n}{n!} = 2\frac{z^n}{n!}$

Wenn man noch unerfahren mit Reihenoperationen ist, sollte man immer ein paar Reihenglieder aufschreiben, um ein Gefühl dafür zu bekommen.

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ups, ja ist logisch
Danke!