Prüfe die Reihen mit sinh und cosh auf Konvergenz

Question

Prüfe die Reihe $$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 1 }{ cosh(n) }} $$ und $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac { sinh(n) }{ e^n } $$auf Konvergenz

Answer 1

Bekanntlich gilt \(0<\frac1e<1\). Die Konvergenz der ersten Reihe folgt wegen$$\sum_{n=0}^N\left\vert\frac1{\cosh n}\right\vert\overset{\small\textsf{Def}}{=}\sum_{n=0}^N\frac2{e^n+e^{-n}}<2\sum_{n=0}^N\left(\frac1e\right)^n\text{ für alle } N\in\mathbb N,$$aus der Konvergenz der geometrischen Reihe.