Zeige:cosh(x)^2−sinh(x)^2 =1. sinh str. mon. wachs.; cosh liegt auf [0,∞),Wertebereich von sinh u. cosh, Umkehrfkt.

Question

ich suche Hilfe. DIe Aufgabe sprengt meinen Ramen und ich komme nicht vorran.

Die Funktionen sinh, cosh: R→R sind definiert durch:

sinh(x)= ((1/2) * (e^x −e^−x))  bzw.  cosh(x)= ((1/2) * (e^x +e^−x))

Sie heißen Sinus bzw. Cosinus Hyperbolicus. Zeige:

(a) cosh(x)²−sinh(x)² =1.

(b) sinh ist streng monoton wachsend.

(c) cosh ist auf dem Intervall [0,∞) streng monoton wachsend.

(d) Der Wertebereich von sinh ist R. Der Wertebereich von cosh auf [0,∞) ist [1,∞).

(e) Für die Umkehrfunktionen sinh⁻¹: R→R und cosh⁻¹: [1,∞)→R gilt

sinh⁻¹(x)=log(x+√x² +1) bzw. cosh⁻¹(x)=log(x+√x2−1).

Tipp: Die Monotonie von cosh folgt aus (a) und (b).

Comments

Bei a) kannst du die Definition aus der Aufgabenstellung einsetzen, dann quadrieren und alles auf einen Bruchstrich schreiben. So solltest du 1 erhalten.

Answer 1

sinh(x)= ((1/2) * (e^x −e^−x))  bzw.  cosh(x)= ((1/2) * (e^x +e^−x))

(a) cosh(x)²−sinh(x)² =1.

Bew:  ((1/2) * (e^x + e^−x))^2  -  ((1/2) * (e^x - e^−x))^2

=    (1/4) * (  (e^x +e^−x)^2  -  (e^x - e^−x)^2 )

=    (1/4) * (  (e^2x + 2 e^x *e^−x + e^−2x)  -  (e^2x  - 2 e^x *e^−x + e^−2x) )

und wegen e^x *e^−x= 1  stimmt alles.

(b) sinh ist streng monoton wachsend. 

denn die Abl. ist  ((1/2) * (e^x −e^−x)) ' = ............ = cosh(x) also immer > 0.

(c) cosh ist auf dem Intervall [0,∞) streng monoton wachsend

da offenbar cosh(x) immer > 0 ist, ist . wegen cosh(x)²  = 1  +sinh(x)² 

cosh(x) =wurzel( 1  +sinh(x)² ) und die wurzel aus etwas st.mon.wachsneden

ist auch st. mon. wachs.

(d) Der Wertebereich von sinh ist R. Der Wertebereich von cosh auf [0,∞) ist [1,∞).

für x gegen - ∞ ist der GW von sinh auch - ∞ und bei +  ∞ entsprechend.

da die Fkt. stetig ist, also  W = IR.  Einsetzen zeigt cosh(0)=1/2*( 1+1) = 1

und für x gegen ∞ geht es gegen  ∞.

(e) Für die Umkehrfunktionen sinh⁻¹: R→R und cosh⁻¹: [1,∞)→R gilt

sinh⁻¹(x)=log(x+√x² +1) bzw. cosh⁻¹(x)=log(x+√x2−1).

für sinh:  ((1/2) * (e^x −e^−x))  = y nach x auflösen
                   e^x −e^−x  = 2y    | e^x
                  e^2x - 1 = 2y*e^x
                  e^2x - 2y*e^x -   1 = 0   ersetze e^x durch z und e^2x durch z^2
                 z^2 - 2yz - 1 = 0
gibt mit pq-Formel   z = y + wurzel(y^2 + 1 ) (andere Lös. sinnlos, da z>0 sein muss.
Dann wieder einsetzen. Bingo!

Comments

Ein hoch für solche Genie's.

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Aufg b)

Ist noch irgendwas relevanten bei " ((1/2) * (e^x −e^−x)) ' = ............ = cosh(x) also immer > 0." , welche durch die Punkte gesetzt wurden zu erwähnen?

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na ja, mann könnte die Punkte durch die Zwischenschritte ersetzen, welche zeigen, dass wirklich

beim Ableiten

((1/2) * (e^x −e^−x)) ' = ............ = cosh(x)

herauskommt.

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Kann das jemand bei e noch weiter ausführen?

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Umkehrfkt für sinh:  ((1/2) * (e^x −e^−x))  = y nach x auflösen
                   e^x −e^−x  = 2y    | e^x
                  e^2x - 1 = 2y*e^x
                  e^2x - 2y*e^x -   1 = 0   ersetze e^x durch z und e^2x durch z²
                 z² - 2yz - 1 = 0
gibt mit pq-Formel     mit p=-2y und q = -1

z = y + wurzel(y² + 1 )

wegen  e^x = z  also e^x =  y + wurzel(y² + 1 )

also   x = ln (   y + wurzel(y² + 1 ))

dann x y tauschen und du hast

y = sinh^-1(x) = ln (   x + wurzel(x² + 1 )).