Question

Zeigen Sie:
(a) Für jedes c ∈ ℂ* besitzt die Gleichung z² = c (in ℂ) genau zwei Lösungen.
(b) Jede quadratische Gleichung

                                                              w² + λw + µ = 0

 

$$ mit\quad λ,µ∈ℂ\quad besitzt\quad die\quad Lösungen\quad { w }_{ 1,2 }=-\frac { \lambda  }{ 2 } \pm \sqrt { \frac { { \lambda  }^{ 2 } }{ 4 } -\mu  } \quad wobei\quad \pm \sqrt { c } \quad die\quad Lösungen\quad \\ der\quad Gleichung\quad { z }^{ 2 }=c\quad aus\quad Teil\quad (a)\quad bezeichnet.  $$

Comments

Ich komme mit dieser Gleichung auch überhaupt nicht klar :(

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Geht für a den folgendes:

z2 = c

z2 - c = 0

z_1,2 = c/2 +/- √(c/2)²

...

weiter weiß ich leider nicht.

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Was meinst du mit dem * bei C*?

Falls ihr noch keine Polarkoordinaten habt, mach das so:

z=x+iy

z^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi

c = a + ib

==> a = x^2 - y^2 und b = 2xy

Jetzt diese beiden reellen Gleichungen mit den Unbekannten x und y und gegebenem a und b geschickt nach x und y auflösen.

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Vielen Dank für die Antwort. Die Gleichungen sehen für mich so aus, als ob ich daraus die pq-Formel ableiten könnte. Oder habe ich es falsch verstanden?

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Weiss ich nicht genau,

Wenn du die Auflösung schaffst, ist das ok. Aber das ist dann erst mal die a).

Natürlich kannst du dann das Resultat bei b) benutzen um die pq-Formel zu beweisen.

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Weiß leider nicht wie ich von hier "a = x2 - y2 und b = 2xy" auflösen soll, hat jemand vielleicht noch einen Denkanstoß?

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Wäre es so richtig?:

Für a:

a = x² - y²

x² = a + y²

x = √a + y =>

y = √a + x

Da die Wurzel von a sowohl negativ als auch positiv ein kann, gibt es 2 Lösungen.

Für b:

b = 2xy

b/x = 2y

y = b/2x  =>

x = b/2y

Kommt mir aber als zu schnell um war zu sein vor?

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Ich denke dass müsste gehen. Kann denn ein Profi sagen ob es stimmt?

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Für a:

a = x² - y²  (I)

x² = a + y²

x1 =√(a + y^2) ,

x2 = -√(a + y^2)

Da die Wurzel von a sowohl negativ als auch positiv ein kann, gibt es 2 Lösungen.

Aber: du brauchst eine Formel für x, die kein y enthält.

Beginne mit

Für b:

b = 2xy

b/x = 2y

y = b/(2x)  

nun dieses y am besten gleich in (I) einsetzen. Da kannst du ordentlich nach x auflösen und danach die zugehörigen y-Werte bestimmen.

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zu a): Polarform von \(c\) benutzen.

zu b): quadratische Ergänzung.

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Ich habe schonmal die Frage gestellt: https://www.mathelounge.de/118187/zeigen-fur-jedes-besitzt-die-gleichung-genau-zwei-losungen

Mitlerweile habe ich eine Lösung, vielleicht nicht ganz korrekt aber es müssste gehen. Werde ich als Kommentar darunter schreiben.

Answer 1

b) kannst du im Prinzip hier abschreiben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#Herleitung_der_p-q-Formel

Schritt nach

(x + p/2)^2 = (p/2)^2 - q     

ist mit Wurzel aus a) erklärt.