Hallo,
Sei \(a=a_1=e^{2\pi i x}\) mit \(x\in\R\backslash\mathbb Q\).
Sei \(\varepsilon>0\) beliebig. Bemerke, dass \( S:=\{z\in \mathbb C:\, |z|=1\}\) kompakt ist. Somit hat die Folge \((a_n)_n\) eine konvergente Teilfolge, insbesondere gibt es \(n>m\in\N\) mit
$$0\overset{!}{<}|1-a^{m-n}|=|a_n-a_m|<\varepsilon$$
Das bedeutet, dass man für jedes \(\delta>0\) ein \(\theta\in(-\delta,\delta)\backslash\{0\}\) und ein \(l\in\N\) findet, sodass \(a^{l}=a_{l}=e^{i\theta}\).
Schau dir dann am besten mal an, wie die \((a_{l})^k=e^{i\theta k}\) auf dem Kreis aussehen, dann sollte intuitiv klar sein, warum man damit "beliebig nah" (für \(\delta\) immer kleiner) an jedes \(z\in S\) herankommt.
Um das rigoros zu machen kann man zB die Stetigkeit von \(t\mapsto e^{it}\) auf \((0,2\pi)\) verwenden.
LG Dojima