Zeigen Sie, dass jedes z ∈ ℂ mit |z|=1 ein Häufungspunkt der Folge an ist.

Question

Text erkannt:

3. Sei \( x \) eine irrationale reelle Zahl. Wir setzen \( a_{n}=e^{2 \pi i n x} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass jedes \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|=1 \) ein Häufungspunkt der Folge \( \left(a_{n}\right) \) ist (d.h., für jedes \( \varepsilon>0 \) gilt \( \left|z-a_{n}\right|<\varepsilon \) für unendlich viele \( n \) ).

Moin, ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Und zwar weiß ich nicht genau was mir die Irrationalität von x in diesem Fall sagen soll, was anscheinend ausschlaggebend ist. Und ich kann mir das Verhalten von dieser Folge nicht ganz vorstellen.

Comments

Hallo
eine rationales x=p/q hast du p/q*n*π d.h eine rationales vielfaches von π nach einiger Zeit wiederholt sich der Winkel notwendig, bei großem Nenner dauert es etwas länger aber man erreicht immer dieselben Winke auf dem Kreis wieder, Das geht bei irrationalen Zahlen nicht, du kommst jedem Punkt beliebig nahe.
lul

---

Okay aber wie kommt es das die Folge dann sich sozusagen in dem Einheitskreis dreht und nicht nur in einem Bereich bleibt

Answer 1

Hallo,

Sei \(a=a_1=e^{2\pi i x}\) mit \(x\in\R\backslash\mathbb Q\).

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig. Bemerke, dass \( S:=\{z\in \mathbb C:\, |z|=1\}\) kompakt ist. Somit hat die Folge \((a_n)_n\) eine konvergente Teilfolge, insbesondere gibt es \(n>m\in\N\) mit

$$0\overset{!}{<}|1-a^{m-n}|=|a_n-a_m|<\varepsilon$$

Das bedeutet, dass man für jedes \(\delta>0\) ein \(\theta\in(-\delta,\delta)\backslash\{0\}\) und ein \(l\in\N\) findet, sodass \(a^{l}=a_{l}=e^{i\theta}\).

Schau dir dann am besten mal an, wie die \((a_{l})^k=e^{i\theta k}\) auf dem Kreis aussehen, dann sollte intuitiv klar sein, warum man damit "beliebig nah" (für \(\delta\) immer kleiner) an jedes \(z\in S\) herankommt.
Um das rigoros zu machen kann man zB die Stetigkeit von \(t\mapsto e^{it}\) auf \((0,2\pi)\) verwenden.

LG Dojima

Comments

Wo benutzt Du, dass x irrational ist?

---

Wenn \(x\) irrational ist, dann ist \(a=e^{2\pi ix}\) keine Einheitswurzel, was dann \(0<|1-a^{m-n}|\) impliziert.

---

Danke. Fülltext.