Irgendwie stimmen meine Ansätze nicht, aber wieso?

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt B(b|f(b)).

a) f(x) = x², b = 2

b) f(x) = 2x² - 3x, b = 1

Problem/Ansatz: Irgendwie stimmen meine Ansätze nicht, aber wieso?

a) f(x) = x²; B(2|f(2)) => x0 = 2
Gesucht: Tangentengleichung im Punkt B
=> mt = f(x0)  => Ableitungsfunktion f bestimmen
1. Die Steigung der Tangente in einem Punkt
f(x) = x² => f(x) = 2x => f(2) = 4
Ansatz: t: y = 4x + c => Punktprobe mit B(2|4)
=> 4 = 4*(2) + c <=> 4 = 8 + c <=>  1/2 = c
=> t: y = 4x + 1/2
b) f(x) = 2x² - 3x; B(1|f(1)) => x0 = 1
Gesucht: Tangentengleichung im Punkt B
=> mt = f(x0)  => Ableitungsfunktion f bestimmen
1. Die Steigung der Tangente in einem Punkt
f(x) = 2x² - 3x => f(x) = 4x - 3 => f(1) = 1
Ansatz: t: y = 4x + c => Punktprobe mit B(1|-1)
=> -1 = 4*(1) + c <=> -1 = 4 + c <=>  -5 = c
=> t: y = 4x - 5
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Comments

Hallo,

Deine Ansätze sind ok, Du hast "nur" Rechen- oder Schreibfehler gemacht.

Bei der ersten hast Du \(4=8+c\) zu \(c=1/2\) "aufgelöst". du hättest auf beiden Seiten 8 subtrahieren müssen.

Bei der zweiten hast Du \(f'(1)=1\) ausgerechnet, aber mit dem Wert 4 weitergearbeitet.

Gruß

Answer 1

Aloha Klemens ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Wenn du die Steigung \(m=f'(x)\) einer Geraden bzw. Tangenten kennst, brauchst du nur noch einen weiteren Punkt \((x_0|y_0)\) zu kennen, um die Tangentengleichung hinschreiben zu können:

$$f'(x_0)=m=\frac{y(x)-y_0}{x-x_0}\implies f'(x_0)\cdot(x-x_0)=y(x)-y_0\implies$$$$y(x)=y_0+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Mit dieser allgemeinen Tangentengleichung widmen wir uns nun den Aufgabem.

$$\text{a) }f(x)=x^2\,;\;b=2\implies f'(x)=2x$$Wir haben also die Steigung \(f'(2)=4\) und den Punkt \((2|4)\), das heißt:

$$y(t)=4+4\cdot(x-2)=\boxed{4x-4}$$

~plot~ x^2 ; 4x-4 ; {2|4} ; [[-1|4|-2|7]] ~plot~

$$\text{b) }f(x)=2x^2-3x\,;\;b=1\implies f'(x)=4x-3$$Wir haben also die Steigung \(f'(1)=1\) und den Punkt \((1|-1)\), das heißt:

$$y(t)=-1+1\cdot(x-1)=\boxed{x-2}$$

~plot~ 2x^2-3x ; x-2 ; {1|-1} ; [[-1|4|-4|5]] ~plot~

Comments

Vielen Dank, jetzt kommt es mir klar vor. Sie haben sich echt viel Mühe dabei gemacht. Ich bedanke mich ganz herzlich bei Ihnen.

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Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben.

Answer 2

$$y=f'(b)\cdot\left(x-b\right)+f(b)$$

Answer 3

b)
f ( x ) = 2 * x^2 - 3 * x, b = 1
f ´( x ) = 4 * x - 3

f ( 1 ) = 2 * 1 ^2 - 3 * 1 = -1
f ´ ( 1 ) = 1

t ( x ) = m * x + b
f ´( 1 ) = m = 1

t ( 1 ) = 1 * 1 + b = -1
b = -2

t ( x ) = 1 * x - 2