AWP mittels Laplacetransformation

Question

Aufgabe:

Gegeben das folgende Anfangswertproblem $$\frac{d^2y}{dt^2}+4(\frac{dy}{dt})+3y = f(t), y(0)=-2, y'(0)=1$$

Berechnen Sie die Lösung mit Hilfe der Laplacetransformation. Geben Sie die Lösung Y(s) im Frequenzraum an

1. Bestimmen Sie zunächst die Lösung des homogenen Problems :

Y(s) = ?

2. Bestimmen Sie die spezielle Lösung für f(t)=cos(2t):

Y(s) = ?

Problem/Ansatz:

… Bei der 1. Aufgabe habe ich schon als die Lösung des homogenen Problems $$\frac{-2s-7}{(s+1)(s+3)}$$ als die Lösung bekommen, aber bei der 2. Aufgabe komm ich irgendwie nicht auf die richtige Lösung.

Answer 1

Die Laplacetransformation liefert für die Dgl.

$$ Y(s) \big( s^2 + 4s + 3 \big) +2s + 7 = \frac{s}{s^2 + 4} $$ Also

$$ Y(s) = \frac{ \frac{s}{s^2 + 4} -2s - 7 }{ s^2 +4s + 3 } $$ Partialbruchzerlegung liefert

$$ Y(s) = \frac{8}{13} \frac{1}{s+3} - \frac{13}{5} \frac{1}{s+1} - \frac{1}{65} \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{8}{65} \frac{2}{s^2 + 4} $$ und das ergibt

$$ y(t) =  \frac{8}{13} e^{-3t} - \frac{13}{5} e^{-t} - \frac{1}{65} \cos(2t) + \frac{8}{65} \sin(2t) $$

Das mal prüfen, auch auf die Anfangsbedingungen.

Answer 2

Hallo,

vielleicht kommst Du damit weiter: