Finde eine allgemeine Begründung (zB.

Question

Aufgabe:

4) Berechne das Taylor-Polynom 2. Ordnung \( \left(T_{2} f\right)(x ; a) \) von \( f(x)=x^{2}+3 x+1 \) um \( a=1 \), und überprife explizit, dass \( f(x)=\left(T_{2} f\right)(x ; a) \)

Finde eine allgemeine Begründung (zB. mit dem Eindeutigkeitssatz), dass dies immer so ist, also

\( f(x)=\left(T_{n} f\right)(x ; a) \)

für jedes Polynom \( n \) -ter Ordnung \( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} c_{k} x^{k}, \) für beliebiges \( a \in \mathbb{R} . \) Hier ist \( \left(T_{n} f\right)(x ; a) \) das 'Taylor-Polynom der Ordnung \( n \) von \( f \) um \( a \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man Taylor-Polynome berechnet, aber was genau ist hier gefragt? Soll das zweite Taylorpolynom mit a=1 immer die Funktion selbst sein und soll ich das beweisen? Wenn ja, wie?

Answer 1

Nachzuweisen ist das für ein Polynom \( f(x) = \sum_{k=0}^n c_k x^k \) $$ f(x) = T_nf(x,a) $$ gilt.

Im allgemeinen gilt für eine bliebige Funktion \( f(x) \)

$$ f(x) = T_nf(x,a) + R_n f(x,a) $$ wobei \( R_n f(x,a) \) das Restglied der Taylorreihe ist, z.B. das Restglied von Lagrange.

Da für ein Polynom n'ter Ordnung das Restglied von Lagrange \( R_n f(x,a) = 0 \)  gilt, folgt

$$ f(x) = T_n f(x,a) $$

Comments

Danke sehr! Warum ist das Restglied immer 0 bei n-ter Ordnung? Ich dachte Taylor ist nur eine Annäherung an f(x)?

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Das n'te Taylorpolynom ist eine Näherung für die zu approximierende Funktion. Das Restglied ist gerade der Fehler dieser Näherung und hängt von der (n+1)'ten Ableitung ab. Diese Ableitung ist aber für so ein Polynom gerade Null.