Aufgabe:
4) Berechne das Taylor-Polynom 2. Ordnung \( \left(T_{2} f\right)(x ; a) \) von \( f(x)=x^{2}+3 x+1 \) um \( a=1 \), und überprife explizit, dass \( f(x)=\left(T_{2} f\right)(x ; a) \)
Finde eine allgemeine Begründung (zB. mit dem Eindeutigkeitssatz), dass dies immer so ist, also
\( f(x)=\left(T_{n} f\right)(x ; a) \)
für jedes Polynom \( n \) -ter Ordnung \( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} c_{k} x^{k}, \) für beliebiges \( a \in \mathbb{R} . \) Hier ist \( \left(T_{n} f\right)(x ; a) \) das 'Taylor-Polynom der Ordnung \( n \) von \( f \) um \( a \).
Problem/Ansatz:
Ich weiß, wie man Taylor-Polynome berechnet, aber was genau ist hier gefragt? Soll das zweite Taylorpolynom mit a=1 immer die Funktion selbst sein und soll ich das beweisen? Wenn ja, wie?