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Aufgabe:

4) Berechne das Taylor-Polynom 2. Ordnung \( \left(T_{2} f\right)(x ; a) \) von \( f(x)=x^{2}+3 x+1 \) um \( a=1 \), und überprife explizit, dass \( f(x)=\left(T_{2} f\right)(x ; a) \)


Finde eine allgemeine Begründung (zB. mit dem Eindeutigkeitssatz), dass dies immer so ist, also

\( f(x)=\left(T_{n} f\right)(x ; a) \)

für jedes Polynom \( n \) -ter Ordnung \( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} c_{k} x^{k}, \) für beliebiges \( a \in \mathbb{R} . \) Hier ist \( \left(T_{n} f\right)(x ; a) \) das 'Taylor-Polynom der Ordnung \( n \) von \( f \) um \( a \).


Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man Taylor-Polynome berechnet, aber was genau ist hier gefragt? Soll das zweite Taylorpolynom mit a=1 immer die Funktion selbst sein und soll ich das beweisen? Wenn ja, wie?

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Nachzuweisen ist das für ein Polynom \( f(x) = \sum_{k=0}^n c_k x^k \) $$ f(x) = T_nf(x,a) $$ gilt.

Im allgemeinen gilt für eine bliebige Funktion \( f(x) \)

$$ f(x) = T_nf(x,a) + R_n f(x,a) $$ wobei \( R_n f(x,a) \) das Restglied der Taylorreihe ist, z.B. das Restglied von Lagrange.

Da für ein Polynom n'ter Ordnung das Restglied von Lagrange \( R_n f(x,a) = 0 \)  gilt, folgt

$$ f(x) = T_n f(x,a) $$

Avatar von 39 k

Danke sehr! Warum ist das Restglied immer 0 bei n-ter Ordnung? Ich dachte Taylor ist nur eine Annäherung an f(x)?

Das n'te Taylorpolynom ist eine Näherung für die zu approximierende Funktion. Das Restglied ist gerade der Fehler dieser Näherung und hängt von der (n+1)'ten Ableitung ab. Diese Ableitung ist aber für so ein Polynom gerade Null.

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