Zeigen Sie: Es existieren M>0 und a e R mit f(x)=Me^(ax) für alle x e R

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) eine zweimal differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft \( f(x) f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \)
Zeigen Sie: Es existieren \( M>0 \) und \( a \in \mathbb{R} \) mit \( f(x)=M e^{a x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \)

Hinweis: Betrachten Sie \( g(x):=\log (f(x)) \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.

Ich danke euch für eure Hilfe

Answer 1

Berechne dem Tipp folgend ( Der macht Sinn, weil f(x) > 0

für alle x ) :       g ' (x) =  f ' (x) *  1 / f(x) =   f ' (x) / f (x)

mit Quotientenregel also

         g' ' (x) =  ( f(x) * f ' ' (x) - f ' (x) * f ' (x) ) /   (f (x))

wegen der Vor. also f ' ' (x) = 0

==>    g ' (x)  =   a  mit einer Konstanten a.

==>   g  (x) = ax + c   mit einer weiteren Konstanten c.

Nach Def. von g also  log(f(x)) =  ax + c

==>                    f(x) =  e^(ax+c) = e^(ax) * e^c

        und e^c ist das positive M .                q.e.d.