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Aufgabe:

Gegeben ist T(x,t)=e^-t* sin(2x)

Berechnen Sie d/dt T(t,t²) mit Hilfe der Ketteregel und direkt.


Soll man das X durch t² ersetzen und dann differenzieren? Und was meinen Sie mit direkt?

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Ohne Kettenregel:ddt(T(t,t2))=ddt(et2sin(2t))=2et2cos(2t)2tet2sin(2t)=2et2(tsin(2t)cos(2t))\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(T(t,t^2))&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(e^{-t^2}\sin(2t)\right)=2e^{-t^2}\cos(2t)-2te^{-t^2}\sin(2t) \\ &=-2e^{-t^2}(t\sin(2t)-\cos(2t)) \end{aligned} Mit Kettenregel:

Betrachte T : R2R,T(x,t)=etsin(2x)T: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \, T(x,t)=e^{-t}\sin(2x) und γ : RR2,t(t,t2)\gamma : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \, t\mapsto (t,t^2). Du suchst nun die Ableitung von Tγ : RRT\circ \gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}. Das geht mit der mehrdimensionalen Kettenregel nach Formel (Tγ)(t)=gradT(γ(t))γ˙(t)=(2et2(tsin(2t)cos(2t))0)(12t)=2et2(tsin(2t)cos(2t))\begin{aligned}({T\circ \gamma})'(t)&=\operatorname{grad} T(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t)=\begin{pmatrix} -2e^{-t^2}(t\sin(2t)-\cos(2t))\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\2t \end{pmatrix}\\& =-2e^{-t^2}(t\sin(2t)-\cos(2t))\end{aligned}

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