Ohne Kettenregel:$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(T(t,t^2))&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(e^{-t^2}\sin(2t)\right)=2e^{-t^2}\cos(2t)-2te^{-t^2}\sin(2t) \\ &=-2e^{-t^2}(t\sin(2t)-\cos(2t)) \end{aligned}$$ Mit Kettenregel:
Betrachte \(T: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \, T(x,t)=e^{-t}\sin(2x)\) und \(\gamma : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \, t\mapsto (t,t^2)\). Du suchst nun die Ableitung von \(T\circ \gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\). Das geht mit der mehrdimensionalen Kettenregel nach Formel $$\begin{aligned}({T\circ \gamma})'(t)&=\operatorname{grad} T(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t)=\begin{pmatrix} -2e^{-t^2}(t\sin(2t)-\cos(2t))\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\2t \end{pmatrix}\\& =-2e^{-t^2}(t\sin(2t)-\cos(2t))\end{aligned}$$
