Aloha :)
Wir untersuchen die Folge$$d_{n+1}=\sqrt{2d_n-1}\quad;\quad d_1\coloneqq2$$
a1) Untere Schranke:
Wir zeigen zunächst durch vollständige Induktion, dass alle Folgenglieder \(d_n>1\) sind. Für die Verankerung bei \(n=1\) ist das klar, denn \(d_1=2>1\). Im Induktionsschritt bauen wir daher darauf auf, dass \(d_n>1\) gilt und stellen fest:$$d_{n+1}=\sqrt{2d_n-1}>\sqrt{2\cdot1-1}=\sqrt{1}=1$$Damit gilt \(d_n>1\) für alle \(n\in\mathbb N\).
a2) Monotonie:
Wir vermuten, dass die Folge monoton fallend ist und zeigen es mit Induktion:
i) Verankerung bei \(n=1\):$$d_{n+1}-d_n=d_2-d_1=\sqrt3-2<0\implies d_{n+1}<d_n\quad\checkmark$$ii) Induktionsschritt:$$d_{n+2}-d_{n+1}=\sqrt{2d_{n+1}-1}-\sqrt{2d_n-1}$$$$\phantom{d_{n+2}-d_{n+1}}=\frac{(\overbrace{\sqrt{2d_{n+1}-1}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{2d_n-1}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{2d_{n+1}-1}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{2d_n-1}}^{=b})}{\sqrt{2d_{n+1}-1}+\sqrt{2d_n-1}}$$$$\phantom{d_{n+2}-d_{n+1}}=\frac{\overbrace{(2d_{n+1}-1)}^{=a^2}-\overbrace{(2d_n-1)}^{=b^2}}{\sqrt{2d_{n+1}-1}+\sqrt{2d_n-1}}=\frac{2d_{n+1}-2d_n}{\sqrt{2d_{n+1}-1}+\sqrt{2d_n-1}}$$$$\phantom{d_{n+1}-d_{n+1}}=\underbrace{\frac{2}{\sqrt{2d_{n+1}-1}+\sqrt{2d_n-1}}}_{>0}\cdot\underbrace{(d_{n+1}-d_{n})}_{<0}$$Der erste Bruch ist positiv, weil nach a1) alle \(d_n>1\) sind und daher die Wurzeln im Nenner stets existieren und positiv sind. Weiter ist nach unserer Induktionsvoraussetzung \(d_{n+1}<d_n\) und daher \((d_{n+1}-d_n)<0\). Damit ist dann aber auch \((d_{n+2}-d_{n+1})<0\) bzw. \(d_{n+2}<d_{n+1}\). Die Folge ist daher streng monoton fallend.
b) Konvergenzverhalten:
Nach a1) ist die Folge durch \(d_n>1\) nach unten beschränkt. Nach a2) ist die Folge streng monoton fallend, sodass \(d_1=2\) das Maximum sein muss. Die Folge \((d_n)\) ist also beschränkt \(1<d_n\le2\) und streng monoton fallend, also ist sie auch konvergent.
c) Bestimmung des Grenzwertes:
Es sei \(d\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}d_n\), dann gilt:$$\left.d_{n+1}=\sqrt{2d_n-1}\quad\right|\text{Grenzwertbildung}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} d_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{2d_n-1}\quad\right|\text{Die Wurzelfunktion ist stetig}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} d_{n+1}=\sqrt{2\lim\limits_{n\to\infty} d_n-1}\quad\right|d=\lim\limits_{n\to\infty} d_n=\lim\limits_{n\to\infty} d_{n+1}$$$$\left.d=\sqrt{2d-1}\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.d^2=2d-1\quad\right|\text{alle Terme auf eine Seite bringen}$$$$\left.d^2-2d+1=0\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.(d-1)^2=0\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.d-1=0\quad\right|+1$$$$d=1$$Die Folge konvergiert also gegen ihre untere Schranke \(d=1\).
