Rekursionsvorschrift. Rekursive Folge. Konvergenz und eventuell Grenzwert?

Question

Kann jemand bitte diese aufgabe vorrechnen und den Lösungsweg hier rein posten bitte?

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Diese Rekursionsvorschrift kennt man schon aus der Schule und Wikipedia hat einen Artikel dazu. Da steht sogar abschreibfertig alles drin, was man für diese vier Punkte braucht.

Answer 1

(1)  Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass  \(x_n>0\) für alle \(n>0\) gilt.

(2)  Zeige, dass die Folge nach unten durch \(\sqrt5\) beschränkt ist:$$x_{n+1}^2-5=\left(\frac{x_n}2+\frac5{2x_n}\right)^{\!2}-5=\left(\frac{x_n}2-\frac5{2x_n}\right)^{\!2}\ge0.$$(3)  Zeige, dass die Folge monoton fällt:$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}2+\frac5{2x_n}-x_n=\frac{5-x_n^2}{2x_n}\le0.$$(4)  Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent. Der Grenzwert \(g\) berechnet sich aus$$g=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x_n}2+\frac5{2x_n}\right)=\frac g2+\frac5{2g}.$$Gruß

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wie kommst du auf (2), dass man Wurzel 5 nehmen muss ?

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Wenn man etwas mit dem Rekursionsterm experimentiert,

sieht man ( x_n/2 + 5/(2x_n) )² und  ( x_n/2 - 5/(2x_n) )² unterscheiden

sich genau um 5.

Also hat man  ( x_n/2 + 5/(2x_n) )²   - 5 =  ( x_n/2 - 5/(2x_n) )²

und   Quadrate sind nie negativ, also ist das ≥ 0

Wenn aber x_n+1 ² - 5  ≥ 0 dann ist

x_n+1 ² ≥ 5    also

x_n+1  ≥ √5 .      Das sieht man quasi erst im Laufe des Beweises, dass

es auf Wurzel5 hinausläuft.

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Falls Konvergenz vorliegt, muss g² = 5 für den Grenzwert g gelten.