rekursive Folge \ Konvergenz

Question

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Aufgabe 2 (4 Punkte) Betrachten Sie die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ) die rekursiv durch
\( x_{1}=21 \quad \text { und } \quad x_{n+1}=\frac{3}{5} x_{n} . \quad n \in \mathbb{N} . \)
definiert ist. Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz oder Divergenz. Geben Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert der Folge an.

Answer 1

der Quotient \( \frac{x_{n+1}}{x_n} \)=3/5<1. Daher konvergiert die Folge mit dem Grenzwert 0.

Answer 2

Das ist eine geometrische Folge mit 0<q<1. Damit konvergiert sie gegen 0.

Answer 3

21* (3/5)^(n+1)= 0  für n ->oo

Der Bruch 3/5 wird immer kleiner.

Comments

Der Bruch 3/5 wird immer kleiner.

Am 13. September 1893 hatte er eine Größe von 0,6.

Vorgestern auch noch.

Letzte Nacht muss irgendwas mit dem Universum passiert sein...

Answer 4

Hallo :-)

Ich sehe hier zwei wesentliche Möglichkeiten, wie du hier rangehen könntest:

1.) Überführe deine rekursiv definierte Folge in eine explizite (induktiv beweisen) und mache davon eine Grenzwertbetrachtung, zb mit Sandwhichprinzip...

2.) Untersuche deine Rekursion auf Beschränktheit und Monotonie (zb induktiv). Liegt beides vor, so kannst du die Konvergenz deiner Rekursion schlussfolgern. Den Grenzwert \(g\) (falls er existiert!) erhältst du dann durch folgende Gleichheit $$ g=\lim x_{n+1}=\lim \frac{3}{5}\cdot x_n = \frac{3}{5} \cdot \lim x_n=\frac{3}{5}\cdot g, $$

da \(\lim x_{n+1}=\lim x_n\) gilt.