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Aufgabe:

Sei h : Kn → Kn eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Es gibt eine geordnete Basis B von Kn, so dass In die Abbildungsmatrix von h bezüglich B und B ist.
b) Es gibt geordnete Basen B und C von Kn, so dass In die Abbildungsmatrix von h bezüglich B und C ist.
c) Wenn A die Abbildungsmatrix von h bezüglich zweier geordneter Basen B, C von Kn ist, dann ist A−1 die Abbildungsmatrix von h−1 bezüglich B und C.


Problem/Ansatz:

Bei a) und b) weiß ich nicht, wie ich das lösen kann, ohne die konkrete Funktion zu wissen, kommt das nicht auch auf die an? Wenn ich z.B. h(x)=x habe ist es ja einfach, aber was ist mit anderen Funktionen?

Ich hätte gesagt, a) stimmt und b) nicht, ist aber nur eine Vermutung.

Bei c) habe ich ein bisschen ausprobiert, da hat es immer gestimmt, aber wie kann ich das beweisen?

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a) ist falsch. Betrachte h : ℝ2 → ℝ2 mit h(x,y) = (y,x).

Gäbe es eine Basis mit In die Abbildungsmatrix von h bezüglich B und B,

dann müsste für den 1. Basisvektor (x,y)  gelten h(x,y) = (y,x), also x=y.

Für den 2. (a,b) müsste das aber auch gelten, also  a=b

damit wären (x,y) und (a,b) linear abhängig, würden also keine

Basis bilden.

b) ist richtig. Sei (v1,...,vn) eine Basis von Kn , dann ist wegen der

Bijektivität  (h(v1), ... , h(vn) )  auch eine. Und die zugehörige

Matrix ist In.

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