Bestimmen Sie fur die folgenden linearen Abbildungen jeweils Basen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie fur die folgenden linearen Abbildungen h von V nach W jeweils Basen fur ker h und im h und uberprufen Sie, dass dim V = dim ker h + dim im h.

a) V = Q5, W = Q3, h(x) = \( \begin{pmatrix} 0 &1& 2& 4 & −4 \\ 0 &−3& −6& 28 &-8 \\&  0& 5& 10 −12 &−4 \end{pmatrix} \)· x.

In den folgenden Beispielen meinen wir mit p(x) den Wert der zu p gehörenden Polynomfunktion an der
Stelle x.

b) V = {p ∈ Q[X] | deg(p) ≤ 2}, W = Q4
, h(p) = (p(−1), p(0), p(1), p(2)).

Problem/Ansatz:

WIr haben den Beweis dimV = dim kerh + dim imh im Unterricht gemacht und ich habe ihn auch verstanden. Fuer dass erste glaube ich habe ich auch eine Loesung gefunden. Aber ich weiss jetzt nicht wie ich fuer das b) eine Loesung finden soll, da ich das mit den Polynomen noch nicht 100% verstanden habe. Danke im Voraus.

Answer 1

b) Dim V = 3. Das sind alle Polynome der Form p(x)=a + bx + cx^2

p∈Ker(h) <=>  p(-1) = p(0) = p(1) = p(2) = 0

denn dann ist h(p) = (0,0,0,0) = 0_W

also muss dann gelten a-b+c=0 und a=0 und a+b+c=0 und a+2b+4c=0

<=>  b=c und  a=0  und  b=-c und  2b+4c =0

also a=b=c=0 .

Somit ist im Kern nur das Nullpolynom,

Basis ist die leere Menge und  dim Kern (h)  = 0.

Im h besteht aus allen Elementen von Q^4 , die durch

(p(−1), p(0), p(1), p(2)) beschrieben werden können.

Mit p(x)=a + bx + cx^2 erhält man damit

( a-b+c , a , a+b+c , a+2b+4c)

= a*(1,1,1,1) + b(-1,0,1,2)+c(1,0,1,4)

Also ist { (1,1,1,1) ; (-1,0,1,2); (1,0,1,4) }

eine Basis von Im h.

Erzeugendensystem sieht man ja und

lin. unabhängig kannst du ja noch zeigen.

Also dim Im (h) = 3 und wegen

3 = 0+3 stimmt auch die Dim-Formel.