Geordnete Basen und lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei h : Kⁿ → Kⁿ eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Es gibt eine geordnete Basis B von Kⁿ, so dass I_n die Abbildungsmatrix von h bezüglich B und B ist.
b) Es gibt geordnete Basen B und C von Kⁿ, so dass I_n die Abbildungsmatrix von h bezüglich B und C ist.
c) Wenn A die Abbildungsmatrix von h bezüglich zweier geordneter Basen B, C von K_n ist, dann ist A⁻¹ die Abbildungsmatrix von h⁻¹ bezüglich B und C.

Problem/Ansatz:

Bei a) und b) weiß ich nicht, wie ich das lösen kann, ohne die konkrete Funktion zu wissen, kommt das nicht auch auf die an? Wenn ich z.B. h(x)=x habe ist es ja einfach, aber was ist mit anderen Funktionen?

Ich hätte gesagt, a) stimmt und b) nicht, ist aber nur eine Vermutung.

Bei c) habe ich ein bisschen ausprobiert, da hat es immer gestimmt, aber wie kann ich das beweisen?

Answer 1

a) ist falsch. Betrachte h : ℝ² → ℝ² mit h(x,y) = (y,x).

Gäbe es eine Basis mit I_n die Abbildungsmatrix von h bezüglich B und B,

dann müsste für den 1. Basisvektor (x,y)  gelten h(x,y) = (y,x), also x=y.

Für den 2. (a,b) müsste das aber auch gelten, also  a=b

damit wären (x,y) und (a,b) linear abhängig, würden also keine

Basis bilden.

b) ist richtig. Sei (v1,...,vn) eine Basis von Kⁿ , dann ist wegen der

Bijektivität  (h(v1), ... , h(vn) )  auch eine. Und die zugehörige

Matrix ist I_n.