Folge (xn) bestimmt durch rekursive Bildngsvorschrift bestimmt. Konvergenz und Grenzwert bestimmen.

Question

hab folgende Aufgabe als Problem:

Zeigen Sie, dass die Folge (x_n), die durch die rekursive Bildungsvorschrift x₀ := 0 und

$$ { x }_{ n+1 }:=\sqrt { { x }_{ n }+c }  $$

mit c > 0 gegeben ist, konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Und für C soll in meinem falle 1 eingesetzt werde.

also habe ich nun

$$ { x }_{ n+1 }:=\sqrt { { x }_{ n }+1 } $$

als x₀ haben wir ja 0

und meine weiteren Folge glieder sind:
x₁= Wurzel(2)

x₂=1,5538

x₃=1,5981

etc.

Und wenn ich das als Potenz schreibe bekomme ich

$$ { x }_{ n+1 }:={ ({ x }_{ n }+1) }^{ 0,5 } $$

Ich habe die Vermutung dass der Grenzwert gen unendlich ist, aber ansonsten keine Ahnung wie ich weiter vorgehen kann :(

Answer 1

eine unbegründete Vermutung.

Die Folge ist monoton wachsend und beschränkt und somit konvergent.

Der Grenzwert \(x\) muss demnach die Gleichung \( x = \sqrt{x+1} \) erfüllen.

Gruß

Comments

Okay, aber wie kommst du darauf?
Also nehmen wir an das sie beschränkt ist, dann ist die Grenze so gegen 2 wahrscheinlich, oder?

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2 wäre eine Grenze (nicht die Grenze). Wenn du die beiden Eigenschaften nachweist kannst du vielleicht besser nachvollziehen, wie ich darauf komme. Oder meinst du das mit der Gleichung? Das folgt im Konvergenzfall aus dem einfachen Grund, dass

$$ \lim x_{n+1} = \lim x_n $$

sein muss.

Dass aus Monotonie und Beschränktheit Konvergenz folgt dürfte aber nichts neues für dich sein.

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Ja, dass ist nichts neues für mich, aber ich habe auch keine Ahnung was mir das mit dem limx_n+1=limx_n sagen willst, tut mir leid :(

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Das bedeutet, dass der Grenzwert der Folge auch der Grenzwert der rekursiven Definition der Folge(in der wieder der Grenzwert der Folge auftaucht ) sein muss.

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Ich bin mir nicht sicher ob du mich verstanden hast. Ich habe ein Problem damit den Grenzwert zu bestimmen.

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Quadriere beide Seiten der von mir genannten Gleichung und löse die quadratische Gleichung.

Nur eine der Lösungen kann dein Grenzwert sein.

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Okay, ich bin mir immer noch nicht sicher was ich machen soll, aber ich hab das nach Gefühl gemacht,  und da kam 0,6180 und -1,618 raus, kann das stimmen?

Und ist -1,618 dann der grenzwert?

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Bei deiner Folge sind alle Folgenglieder positiv. Der Grenzwert kann demnach nur die positive Lösung der obigen Gleichung sein. Dir ist aber beim Berechnen ein Vorzeichenfehler passiert.

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Ich weiß nicht wo mein Fehler liegt D:
Wie muss die quadratische Gleichung denn Aussehen?

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Ich sag dir wo dein Fehler ist ohne dass du mir deine Rechnung zeigst. Du hast die pq-Formel falsch angewendet!

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Naja, meine Formel ist x^2-1

Aber dann kommen wie gesagt die Obenstehende Ergebnisse raus :(

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Oje
$$ x^2-x-1 = 0$$
$$ x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{5} $$

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Ah okay, dass erklärt einiges, cool

Dann muss ich ja nur noch den Beweis für die Konvergenz finden, oder?

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Ja, das ist der eigentliche Kern der Aufgabe.

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also weise ich nun einfach nach, dass xn monoton steigend ist, und fertig, nicht wahr?

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Falls du die Beschränktheit schon gezeigt hast, dann ja.

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Der Grenzwert reicht dafür nicht? Das ist doch eine Art Schranke dachte ich Dx

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Man zeigt zuerst, dass die Folge konvergiert und dann kann man den Grenzwert auf die von mir beschrieben Art und Weise berechnen.

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Warte?
Heißt dass, das mir das mit dem Grenzwert gerade gar nichts bringt, wenn ich nicht zuvor die Konvergenz berechnet habe :(

Kannst du mir den Ansatz für die Beschränktheit geben, bitte? >-<

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Ja das ist korrekt. Den Grenzwert zu berechnen ist, wie du gesehen hast ziemlich trivial.

Eine Möglichkeit die Beschränktheit zu zeigen wäre über vollst. Induktion.

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ist die untere Schranke zufällig Null? :/

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Es gibt nicht DIE untere Schranke. Und ja 0 ist EINE untere Schranke und das nicht nur zufällig ;).

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Okay, also 0 ist zwar eine untere schranke, aber nicht Infimum, ja? >v<

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Wofür brauchst du ein Infimum hier?

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ist die größte untere Schranke nicht infimum?

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Ja und die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrerer Elemente.

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Alsooooo. . . brauche ich kein Infimum, willst du mir hier mit sagen? x'D

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:D Ja so sieht es aus.

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Okay, ich bin lernfähig, hopfen und Mals ist noch nicht verloren x'D
Also ich glaube das die untere SChranke zwischen 0 und 1,irgendwas liegt, Aber ich weiß echt nicht wie der Ansatz dafür ist T^T

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Zeige
$$ x_n \geq 0 $$
für alle \(n \in \mathbb{N} \).

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Aber das ist doch offensichtlich, da die Wurzel, aus etwas negativen ja nicht gezogen werden kann in ℝ, und alle natürlichen Zahlen einschließlich der Null +1 immer größer Null sind, oder sehe ich das falsch?

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Das ist mehr als offensichtlich, ja. Natürliche Zahlen brauchst du hier nicht. Trotzdem würde ich dir raten dies (uns insbesondere die Beschränktheit nach oben) per Induktion zu zeigen (einfach nur damit du eine schlüssige Argumentation aufweisen kannst und ein wenig Übung dafür bekommst).

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ja, Übung brauche ich darin allerdings noch eine Menge xD
Aber Leider habe ich auch keine Ahnung wie ich das mit Induktion anstellen soll. . .

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Behauptung aufstellen, Induktionsanfang machen und dann den Induktionsschritt.

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Tja, ich glaube mein Problem ist es die Behauptun überhaupt aufzustellen xD

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Die Behauptung steht schon da, habe ich vorhin schon aufgeschrieben.......

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Ah, du meinst x_n≥0?
Okay, dann habe ich gar keine Ahnung x'D
Aber ich bin auch zu müde um weiter nach zu denken. Ich danke dir auf jeden Fall sehr für deine Geduld und Hilfe!
Warst super!