Aloha :)
Zur Berechnung der Summe$$S_n\coloneqq\sum\limits_{i=0}^nx^i$$schreiben wir ein \(x\) vor die Summe und subtrahieren das Ergebnis von \(S_n\). Das sieht zunächst komisch aus, macht aber gleich Sinn:
$$S_n-x\cdot S_n=\sum\limits_{i=0}^nx^i-x\cdot\sum\limits_{i=0}^nx^i=\sum\limits_{i=0}^nx^i-\sum\limits_{i=0}^nx^{i+1}=\sum\limits_{i=0}^nx^i-\sum\limits_{i=1}^{n+1}x^i$$Bei der letzten Summe haben wir eine Indexverschiebung vorgenommen. Wir nehmen aus der ersten Summe den ersten Summanden und aus der zweiten Summe den letzten Summanden heraus und finden:$$S_n-x\cdot S_n=\left(x^0+\sum\limits_{i=1}^nx^i\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x^i+x^{n+1}\right)$$Die verbliebenen Summen heben sich gegenseitig weg und es bleibt:$$S_n-x\cdot S_n=1-x^{n+1}\implies S_n(1-x)=1-x^{n+1}\implies \boxed{S_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$$
