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U27 \( (4+3+3 \) Punkte \( ) \quad \operatorname{Im} \mathbb{Q} \) -Vektorraum \( \mathbb{Q}^{3} \) seien \( B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die Standard-
basis und
$$ c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), c_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right), c_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right) $$
Es sei \( f: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3} \) die eindeutige lineare Abbildung mit
$$ f\left(c_{1}\right)=c_{2}, \quad f\left(c_{2}\right)=c_{3}, \quad f\left(c_{3}\right)=c_{1} $$
(a) Bestimmen Sie \( \mathcal{M}_{C}^{C}(f) \) und die Basiswechselmatrizen \( \mathcal{M}_{B}^{C} \) (id) und \( \mathcal{M}_{C}^{B} \) (id).
(b) Berechnen Sie \( A=\mathcal{M}_{B}^{B}(f) \) ausgehend von den Ergebnissen aus (b).
(c) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie \( A \cdot c_{j} \) berechnen.
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U26 \( \left(5+5\right. \) Punkte) \( \quad \) Seien \( n \in \mathbb{N}, \mathbb{R}[x]_{\leq n} \) der Vektorraum aller Polynome vom
Grad \( ^{1} \) kleiner gleich \( n \), sowie
$$ B:=\left\{1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\}, \quad C:=\left\{1, x+1,(x+1)^{2}, \ldots,(x+1)^{n}\right\} $$
Betrachten Sie die Abbildung
$$ \begin{aligned} \varphi: \mathbb{R}[x]_{\leq 2} & \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \\ p(x) & \mapsto x \cdot p(x) \end{aligned} $$
Bestimmen Sie
(a) \( \mathcal{M}_{B}^{B}(\varphi) \)
(b) \( \mathcal{M}_{C}^{B}(\varphi) \)
