Berechnen sie den Winkel ε mit Hilfe der Winkelrelationen (Zentriwinkel Peripheriewinkel, Stufenwinkel, …

Question

Aufgabe:

Berechnen sie den Winkel ε mit Hilfe der Winkelrelationen (Zentriwinkel<>Peripheriewinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Eigenschaften von Gleichseitigen/Rechtwinkligen/Gleichschenkligen Dreiecken)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung geometrisch hergeleitet und komme auf einen Winkel von 54° für Epsilon. Dies stimmt überein mit der Lösung welche im Buch aufgeführt ist. Jedoch fehlt mir irgendwie ein Ansatz wie ich mathematisch auf diese Lösung komme.

Ich hab schon diverse Hilfslinien eingezeichnet in der Hoffnung irgendwo etwas wie ein gleichseitiges Dreieck zu finden von wo ich einen Starpunkt finden könnte, also einen definierten Winkel auf dem ich aufbauen könnte. Aber ich finde einfach nichts.

PS. Eigentlich wollte ich Bilder hochladen von der Aufgabe und meinen Versuchen, aber Imgur wird geblockt. Kann mir jemand sagen wie ich die Bilder nachreichen kann?

Comments

Ich habe die Lösung geometrisch hergeleitet

Wenn Du die Größe des Winkels \(\epsilon\) geometrisch hergeleitet hast, so ist das 'mathematisch' genung. Schildere uns doch mal Deine geometrische Herleitung.

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Geometrische Herleitung ist wie folgt:

α = 180°/5 = 36°
β = α/2 = 36°/2 = 18°
γ = 180° - (α + β) = 180° - (18° + 36°) = 180° - 54° = 126°
ε = 180° - γ = 180° - 126° = 54°

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Hallo Werner, wie kommst du auf

 α=180/5?

Ja , es passt

$$ε_1=α+β=36+18=54°$$ (rechtes ε ( Aussenwinkel)), was mir aber fehlt ist das linke ε, doch du hast natürlich recht, denn

$$2ε_2+2β+α=180$$$$2ε_2+36+36=180$$$$ε_2=54°$$

Ich weiß nicht warum, doch das fehlte mir.

Meine Frau ist zu Hause und schläft ,  wie es weiter geht , weiß ich nicht.

Gruß, Hogar

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Jetzt habe ich , wenn ich deine Bezeichnung verwende einen einfacheren Beweis. Damit ist es nicht nötig, sich auf die Wechselwinkel zu beziehen .

Kreiswinkel$$α=2β$$Nebenwinkel$$ε=α+β=3β$$Winkelsumme gleichschenkliges Dreieck$$180=2*(ε+β)+α$$Umformen$$180=10β$$rechnen$$β=18°$$einsetzen$$ε=54°$$

Manchmal sieht man das Naheliegende nicht.

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Frage: Wie kommst du auf \(ε=α+β\)?

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Der Außenwinkel im Dreieck ist so groß wie die Summe der anderen beiden Winkel.

Die Winkelsumme im Dreieck ist so groß wie der gestreckte Winkel beides ist 180°

Answer 1

Mittlerweile ist Abend, doch gut Ding will Weile haben.

Skizze von Werner - Salomon

Laut Aufgabe:

$$ε=∠ BAC=∠BAE= ∠AEB$$Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel.$$∠BMC=2*∠BAC=2ε$$Der gestreckte Winkel$$∠AMD=180°$$Das Lot in M halbiert den gestreckten Winkel, aufgrund der Symmetrie aber auch den erwähnten Zentriwinkel.$$∠AMH=∠HMD=180/2=90°$$$$∠BMH=∠HMC=2ε/2=ε$$Damit ist $$∠CMD=∠HMD-∠HMC$$$$∠CMD=90 - ε$$Wir erinnern uns an:

Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel.$$∠CMD=2*∠CAD$$$$∠CAD=∠CMD/2$$$$∠CAD=(90-ε)/2=45 - 0,5 ε$$damit$$∠BAD= ∠BAC+ ∠CAD$$$$∠BAD=ε+45 - 0,5 ε=45 + 0,5 ε$$Wechselwinkel sind gleich$$∠MBP= ∠BMH = ε$$Winkelsumme im Dreieck=180°$$∠ EBA+∠BAE +∠AEB=180°$$$$∠ EBA=180 -∠BAE +∠AEB$$$$∠ EBA=180-2ε$$Damit$$∠ PBA=∠ EBA-∠ EBP$$$$∠ PBA=180-2ε-ε$$$$∠ PBA=180-3ε$$Jetzt wieder Winkelsumme im ΔPBA$$∠ PBA+∠ BAP+∠APB=180$$$$(180-3ε)+(45+0,5ε)+90=180$$$$2,5ε=135$$$$ε=135/2,5$$$$ε=54°$$

Fertig, der Rest ist für die Chronik.

Guten Morgen,

Leider sind die Bilder nicht zu sehen.

Ich mache die Bilder mit meinem Smartphone.

Gruß, Hogar

Im linken rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete A

(45-0,5ε+ε )+(180-3ε)=90

135=2,5ε

ε=54°

 0,5(90-ε) = 45-0,5ε

Zentriwinkel<>Peripheriewinkel (über D)

180 -3ε=(180-2ε)-ε

Winkelsumme -2ε - Wechselwinkel ε

Comments

Hallo Hogar

Ich habe nach einer Schaltfläche zum einfügen/hochladen von Bildern gesucht.

Anscheinend muss ich die Bilder einfach per Drag&Drop reinziehen...

Ich aktualisiere meinen Post.

Grüsse

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Antwort bearbeitet.

Gruß, Hogar

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Hallo Hogar

Vielen Dank für die Antwort! Das ist zumindest mal ein Ansatz!

Jedoch ist mir nicht ganz glar, welche Winkel du jetzt hier berechnet hast und wo die 45° herkommen.

Ich hab die Skizze nochmals aktualisiert. Kannst du mir sagen was du hier genau berechnet hast?

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Im linken rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete A
(45-0,5ε+ε )+(180-3ε)=90

Kannst Du mir bitte an Hand meiner Skizze erklären, wie Du auf dieses Gleichung kommst.

Welches rechtwinklige Dreieck meinst Du ?

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Schade, die alte Skizze fand ich besser. Noch einfacher wäre es für mich, wenn du,den Punkten Namen gibst. Du hattest in der alten Skizze ein A eingetragen. Links davon ist ein rechtwinkluges Dreieck entstanden.

Damit fing ich an.

Dein δ=180-2ε

Deine Benennung der Punkte und Strecken ist für mich sehr ungewöhnlich, ich kenne es nur andersrum. PUNKTE GROßE BUCHSTABEN, Strecken kleine.

Der Winkel DBA (dba)= ε der Wechselwinkel zum halben Zemtrumswinkel (2ε)

Wenn M der Mittelpunkt ist, dann ist

Winkel DEM=0,5(90-ε)=45-0,5ε

WINKEL BEM=Winkel DEM+ε=45+0,5ε

Winkel BEM+ δ - ε=90

45 + 0,5 ε +180 -2ε -ε=90

ε=54°

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Dreieck APB

Winkel BAP + Winkel PBA=90°

(45+0,5ε )+(180-3ε)=90

Winkel BAP- ε = Winkel CAD=0,5 Winkel CMD =0,5 (90-ε)=45-0,5ε

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Hallo Hogar

Bitte entschuldige, ich hab dich zuerst missverstanden. Ich dachte du meintest das grosse rechtwinklige Dreieck rechts von meiner Linie a, nicht links davon. Das hab ich gar nicht gesehn.

Ich wollte die ursprüngliche Bezeichnung meiner Hilfslinien beibehalten damit frühere Kommentare von dir ihre Gültigkeit behalten, daher hab ich die Bezeichnun der Strecken in Grossbuchstaben gelassen.

Ich hab die Skizze nochmals angepasst, nun sollte sie mit der gängigen Praxis übereinstimmen und beinhaltet dein vorherig erwähntes rechtwinkliges Dreieck.

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Ich hatte meinen Kommentar geändert, der sich auf Werners Nachfrage bezogen. Falls es noch nicht klar ist, wäre eine Senkrechte durch M hilfreich.

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So, ich habs nochmals angepasst. Meintest du so?

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Dreieck APB
Winkel BAP + Winkel PBA=90°

Ist klar!

(45+0,5ε )+(180-3ε)=90

aber aus welchem Hut hast Du nun die \(45°\) gezaubert?

0,5 Winkel CMD =0,5 (90-ε)

Woraus schließt Du, dass \(\angle CMD = 90 - \epsilon\) ist? Ich kenne das Ergebnis, daher: die Aussage ist richtig! Aber Deine logische Kette erschließt sich mir rein gar nicht.

(die Bezeichner der Punkte beziehen sich auf meine Skizze)

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DAS ist Werners Skizze, nehmen wir noch den Punkt H hinzu, von JanB s Skizze, dann ist

 ∠ CMD = ∠ HMD - ∠ HMC =90° - ε

Denn

∠HMC = 0,5 * ∠BMC=0,5*2ε=ε

Und

∠HMD=0,5∠AMD=0,5*180°=90°

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Die 45° die hier plötzlich "aus dem Hut gezaubert" werden ist auch das was ich nicht verstehe. Und die 0.5ε.

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∠HMC = 0,5 * ∠BMC=0,5*2ε=ε

Der entscheidende Punkt ist doch, dass \(\angle BMC = 2 \epsilon\) ist, da

Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).

siehe Kreiswinkelsatz. Somit ist der gelbe Winkel \(\angle HMC = \epsilon\). Das konnte man aber aus Deiner Antwort nicht erahnen- oder?

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Hallo JanB,

"Die 45° die hier plötzlich "aus dem Hut gezaubert" werden ist auch das was ich nicht verstehe. Und die 0.5ε."

Die 45 -0,5 ε habe ich nicht aus dem Hut gezaubert, es ist die Hälfte von

90-ε  das hatte ich auch begründet.

"Zentriwinkel<>Peripheriewinkel (über D)"

Das D war das D aus deiner ersten Skizze.

Gruß, Hogar

.

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Hallo Werner

"Somit ist der gelbe Winkel \(\angle HMC = \epsilon\). Das konnte man aber aus Deiner Antwort nicht erahnen- oder?"

Scheinbar konntet ihr das nicht nachvollziehen. Für mich war das offensichtlich. Doch ich hatte und habe keinen Kopf dafür, denn meine Frau kommt gerade aus der Intensivstation in die häusliche Intensivpflege. Ich hatte versucht mit euren wieder einmal hervorragenden Skizzen zu begründen, bin dabei aber scheinbar gescheitert.

Tut mir leid wenn ich nicht helfen konnte. Vielleicht formuliert das jemand anderes ja besser.

Gruß, Hogar

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Für mich war das offensichtlich.

Na ja - den Kreiswinkelsatz hatte ich auch angesetzt, aber ich konnte es trotzdem nicht mit Deinem Formelwerk überein bringen. Das tut mir dann immer leid für den Fragenden. Vielleicht schreibe ich heute Abend noch mal eine Antwort.

Aber nichts für ungut - und alles Gute für Dich und Deine Frau.

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Hallo Werner

, meine Frau soll jeden Moment kommen ist aber noch nicht da.

Da es aber keine Nachfragen zu dem von mir erwähnten Wechselwinkel gab, der sich ja auf den Nachbarn des von die gelb markierten Winkels bezieht , der ja auch wieder gleich ε ist,  dachte ich, dass das verstanden wurde.

Der Kreiswinkelsatz wurde hier zweimal benutzt.

Der Wechselwinkel plus die Winkelsumme im Dreieck waren die anderen Zutaten aus der "Zauberkiste".

Vielen Dank für die Wünsche und wenn es Jan B noch nicht klar ist bist Du sicher der Richtige, der das verständlich erklären kann.

Gruß, Hogar

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Hallo ihr beiden

Vielen Dank dass ihr euch die Zeit genommen und Mühe gemacht und versucht habt, es mir zu erklären.
Ich muss mich gefühlt schon schämen, aber ich habe es immer noch nicht begriffen.

Ich habe versucht die von dir aufgestellte Herleitung mit den Skizzen überein zu bringen, bin jedoch gescheitert.

@Werner-Salomon Könntest du mir vielleicht nochmals zusammenfassen wie man nun auf ε kommt?

Grüsse

Jan

PS. Ich habe meine graphische Herleitung noch oben reingestellt.

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Lieber Jan B,

Ich habe jetzt etwas Zeit, darum werde ich es oben noch mal von vorne Schritt für Schritt zeigen. Ich werde dafür Werners Skizze nehmen. Ich hoffe er hat nichts dagegen. Wenn die es verstanden hast, dann klicke doch bitte Werners Antwort an denn er hatte dann daran den entscheidenden Anteil.

Ich mache mich jetzt an die Arbeit und melde mich, wenn ich fertig bin. Es kann aber etwas länger dauern, da ich mit dem Smartphone häufiger meine Schwierigkeiten habe.

Liebe Grüße, Hogar

P.S. Ich finde es gut, wie du dich bemühst und dass du kritisch nachfragst.

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Fertig, es waren viele Schritte, doch ich denke jeder Schritt ist jetzt nachvollziehbar. Schönen Abend noch.

Hogar

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Danke auch dir Hogar! Ich werde mir deinen aufbereiteten Lösungsweg nachher nochmals genau anschauen!

Grüsse

Jan

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Hallo JanB,

Bitte entscheide dich noch einmal um , Werner hatte wesentlichen Anteil an der didaktischen Aufbereitung und bei Werner habe ich einen viel kürzeren Beweis gepostet. Da hast du beides, die Skizze und eine einfache Rechnung.

Gruß   Hogar

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Hallo Hogar

Ich glaube ich kann die "Beste Antwort" nicht mehr rückgängig machen, oder?

Grüsse

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Hallo JanB,

Einmal geht es, dann nicht mehr.

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Wo denn? Ich seh nirgends einen Button.

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Ist bei Werners Antwort kein Feld beste Antwort? Bei mir war das immer so.

Da gibt es oben rechts ein Feld darauf steht Beste?, das anklicken, dann sollte es gehen.

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Nun wurde hier viel geschrieben, Werner hat mal was beim Kommentar und mal was als Antwort geschrieben  bei der Antwort, sollte oben rechts ein Feld sein da steht drauf Beste?

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Auf den grünen Daumen klicken.

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@ Silvia

Danke , das habe ich jetzt auch gemacht ,leider wird meine Antwort immer noch als beste gewertet ich dachte Jan hat die Möglichkeit, das einmal zu ändern.

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Ich meine mich zu erinnern, dass man solch eine Änderung nur innerhalb eines bestimmten Zeitraums vorgenommen werden kann. Aber mach dir deswegen nicht länger einen Kopf!

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Ach, Werner hätte es verdient. Trotzdem danke für die Auskunft.

Answer 2

Hallo Jan, hallo Hogar,

ich fasse es noch mal zusammen:

Der grüne Winkel \(\angle EBA\) sei \(\beta\). Aus der Winkelsumme im Dreieck \(\triangle ABE\) folgt $$\beta = 180° - 2 \epsilon$$Der gelbe Winkel \(\angle EAM\) sei \(\alpha\) und der rote Winkel \(\angle AMB\) sei \(\gamma\). Da \(|AB| = |CD|\) ist folgt aus dem Kreiswinkelsatz $${\gamma} = 2 \alpha$$Da das Dreieck \(\triangle ABM\) gleichschenklig ist, sind seine Basiswinkel identisch$$\epsilon + \alpha = \beta = 180° - 2\epsilon \implies \alpha = 180° - 3\epsilon$$Und die Winkelsumme im gleichen Dreieck \(\triangle ABM\) ist $$\epsilon + \alpha + \underbrace{180° - 2\epsilon}_{= \beta} + \underbrace{2\alpha}_{= \gamma} = 180° \implies \epsilon = 3 \alpha$$Hier setze ich das \(\alpha\) von oben ein:$$\epsilon = 3(180° - 3\epsilon) \implies \epsilon = 54°$$ Gruß Werner

Comments

Super, danke dir viel-viel mals!

Ich werde das später nochmals durcharbeiten und genau anschauen!

Grüsse

Jan

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Habs mir grad mal genauer angeschaut. Wunderschön! :´)

PS. Mit was hast du die Formen geplottet?

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@Werner

Hogar (Es kommt von Ho. Gar. , nicht Holger)

@JanB

Werners Antwort ist wunderschön, ich könnte noch hinzufügen,

Rot=2*Gelb

Blau = Gelb+ Rot

Grün= Blau +Gelb

Doch Spaß beiseite, nutze bitte die Gelegenheit, dich umzuentscheiden,

Werners Antwort ist die Beste.

Bitte zeige das auch.

Schönen Abend noch.

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PS. Mit was hast du die Formen geplottet?

Mit Cinderella dem Geometrie-Programm.

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Hogar (Es kommt von Ho. Gar. , nicht Holger)

'tschuldigung - hatte unmittelbar davor mit einem Holger telefoniert ;-)

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@Werner,

Scheinbar klappt das mit der Wertung nicht, doch auch ich finde keinen Button um mich bei Dir zu bedanken. Trotzdem vielen Dank für Deine Unterstützung.

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Hogar, wenn dir so viel daran gelegen ist, dann gib Werner einen Pluspunkt für seine Antwort als Dankeschön. Einfach links auf den Daumen klicken.

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Scheinbar klappt das mit der Wertung nicht, doch auch ich finde keinen Button um mich bei Dir zu bedanken.

Das ist schon ok! Eurer Kommentar reicht doch völlig ;-)

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Frage: warum kann ich nicht auf den Daumen klicken? Da passiert bei mir nix.

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Bei mir hat das mit dem Daumen zumindest jetzt geklappt, danke dafür. Doch Jan, ich meine, dass du ds beste? anklicken kannst.