Beweise mit dem Unterraum F3^3

Question

Aufgabe:

1. Beweisen Sie, dass es in F3^3
genau 26 × 24 = 624 Mengen von 2 linear
unabhängigen Vektoren gibt.

2. Sei U ein 2-dimensionaler Unterraum in F3^3. Zeigen Sie, dass U genau
8 × 6 = 48 Basen hat.

Problem:

Ich habe keinen Rechenansatz... wie kann ich das Beweisen?

Answer 1

a)  Wenn du so eine Menge aufschreiben willst, kannst du ja

- außer mit dem Nullvektor - mit jedem anderen beginnen.

Da die Anzahl der Elemente von F₃^3  ja gerade 3^3 = 27 ist.

hast du 26 Möglichkeiten. Wähle einen und nenne ihn v.

Jetzt soll ein zweiter dazu kommen, der aber vom ersten
lin. unabhängig ist.  Vom ersten linear abhängig sind aber

nur 3 Stück, nämlich 0*v und 1*v und 2*v ; denn mehr

Faktoren gibt es ja nicht. Also bleiben 24 von den 27 übrig.

Somit erhältst du 26*24 verschiedene Mengen.

b) kannst du so ähnlich überlegen. So ein U hat 9 Elemente.

Außer 0 kann man jedes als 1. Basisvektor wählen.

Und mit jedem der anderen 6 lin. unabhängigen kombinieren.

Also 8*6 Basen.

Comments

Warum kann der nullvektor nicht verwendet werden?