Bestimme globale und lokale Minima bzw Maxima der Funktion:

Question

Aufgabe:

Bestimme globale und lokale Minima bzw. Maxima der Funktion:

(a) \( f(x)=x^{3}-3 x-2 \) auf dem Intervall \( \left[\frac{-3}{2}, 3\right] \),
(b) \( g(x)=x e^{x} \) auf dem Intervall \( \left[\frac{-1}{2}, 1\right] \),
(c) \( h(x)=e^{2 x}-5 x \) auf \( [-1, \infty) \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Du musst die Funktionswerte eventueller Extremstellen in den Intervallen mit den Funktionswerten der Intervallränder vergleichen.

Answer 2

Betrachte es erst mal auf ganz R:

f(x) = x^3 -3x - 2  ==>  f ' (x) = 3x^2 - 3 ==>   f ' (x) = 0 <=>  x= 1 oder x=-1

zeigt sich: lok. Max bei x=-1  mit f(-1)= 9

und lok Min bei x=1 mit f(1)=-4.

Zwischen -3/2 und 3 ist also f zunächst steigend, startet bei f(-3/2)=-7/8 (lokales

Randminimum. Bei x-1 folgt ein lok. Max mit Wert 0.

Von da an monoton fallend bis x=1 . Dort lokales Minimum mit Wert -4 .

Das ist also auch das globale Min.

Von dort steigend bis bei x=3 der Wert 16 (Globales Max am Rande)

erreicht ist.

Answer 3

Hallo,

bestimme zunächst die lokalen Extrempunkte (schwarz) und vergleiche die y-Werte mit denen der Intervallgrenzen (blau). Ein globales Maximum liegt vor, wenn es keinen höheren y-Wert in dem Bereich gibt, hier also bei x = 3 (bei x = -1 liegt daher ein lokales Maximum vor), analog verhält es sich zu den Minima. In Aufgabe a) ist das lokale Minimum auch das globale.