Eigenwerte brechnen - Maxima/Minima/Sattelpunkt

Question

Ich habe die Funktion (x,y) = x³ + y³ - 3xy und soll beweisen, dass am Punkt Q (1,1) ein Minima/Maxima/Sattelpunkt liegt.

Ich habe nach meinen ganzen Rechnungen diese Matrix aufgestellt:

\( \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \)

und die Eigenwerte mit der Mitternachtsformel mit den Werten λ²-12λ+27, also a =1, b =-12 und c =27.

Zum Schluss habe ich herausbekommen:

λ1 = 9

λ2 = 3

Also da beiden Ergebnisse > 0 sind, dachte ich eigentlich, dass diese positiv definit sind und somit Maxima darstellen, jedoch steht in der Lösung, dass Q ein Minima darstellt.

Könnte jemand vielleicht nochmal selbst rechnen und mir sagen, ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe bzw. mir seine Rechnung zeigen?

Answer 1

Aweng bruchstückhaft durcheinander Deine Rechnung.

siehe https://www.geogebra.org/m/bu3QjrBQ

zur Rechnung und Darstellung:

Gradienten GLS lösen

\(\small Grad \, :=  \, \left\{ 3 \; x^{2} - 3 \; y, 3 \; y^{2} - 3 \; x \right\} \)

\(\small Exy \, :=  \, \left\{  \left\{ x = 0, y = 0 \right\} , \left\{ x = 1, y = 1 \right\}  \right\} \)

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Vielen Dank! :)

Answer 2

Aloha :)

Die Hesse-Matrix im Punkt \((1|1)\) kann ich bestätigen:$$H(1;1)=\begin{pmatrix}6 & -3\\-3 & 6\end{pmatrix}$$Die Summe der Eigenwerte ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen und das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante. Bei einer \(2\times2\)-Matrix kann man damit die Eigenwerte schnell bestimmen:$$\lambda_1+\lambda_2=12\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2=27$$Die Lösungen sind schnell ermittelt:$$\lambda_1=9\quad;\quad\lambda_2=3$$

Beide Eigenwerte sind positiv, also ist die Hesse-Matrix \(H(1;1)\) positiv definit. Daher liegt im Punkt \((1|1)\) ein Minimum vor.

Du hast "positiv definit" mit "Maximum" verwechselt, das ist aber genau umgekehrt:

$$\text{positiv definit}\;\implies\text{Minimum}$$$$\text{negativ definit}\implies\text{Maximum}$$

Das ist wie bei den Extrerma einer veränderlichen. Da nimmt die 2-te Ableitung die Rolle der Hesse-Matrix ein und es gilt:$$f''(x)>0\implies\text{Minimum}$$$$f''(x)<0\implies\text{Maximum}$$

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ah, alles klar! Vielen lieben Dank :)