Lagrange-Methode - alle Maxima und Minima der Funktion

Question

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie mithilfe der Lagrange-Methode alle Maxima und Minima der Funktion f(x,y)=x²+y² unter der Nebenbedingung \( \frac{(x+y)^2}{a^2} \) +\( \frac{(x-y)^2}{b^2} \)= 1  Hierbei sind a und b reelle Parameter mit 0<a<b 

Meine Lösung ist bis jetzt folgendes:

L(x,y,λ)=x²+y²+λ(\( \frac{(x+y)^2}{a^2} \) +\( \frac{(x-y)^2}{b^2} \)- 1)

1. Ableitung

Lx(x,y,λ)=λ(\( \frac{2(x+y)}{a^2} \) +\( \frac{2(x-y)}{b^2} \))+2x

Ly(x,y,λ)=λ(\( \frac{2(x+y)}{a^2} \) -\( \frac{2(x-y)}{b^2} \))+2y

Lλ(x,y,λ)=\( \frac{(x+y)^2}{a^2} \) +\( \frac{(x-y)^2}{b^2} \)-1

Nun die Gleichungen Null setzen

(I)     λ(\( \frac{2(x+y)}{a^2} \) +\( \frac{2(x-y)}{b^2} \))+2x = 0

(II)    λ(\( \frac{2(x+y)}{a^2} \) -\( \frac{2(x-y)}{b^2} \))+2y = 0

(III)   \( \frac{(x+y)^2}{a^2} \) +\( \frac{(x-y)^2}{b^2} \)-1 = 0

Gleichung (I) und (II) addieren und dann faktorisieren. Ergibt folgende Lösung x₁=y,  x₂=-y. Diese nun in Gleichung (III) einsetzen. Ergibt:  x₁=y, y₁=+-\( \frac{a}{2} \) und x₂=-y, y₂=+-\( \frac{b}{2} \)

Nun brauche ich eure Hilfe. Ich kommen nicht mehr weiter. Was muss ich jetzt machen um auf die Maxima und Minima der Funktion zu kommen? Weil eigentlich sollte doch nur ein y-Wert vorhanden sein. Kann ich die negativen Werte einfach weglassen, weil die Bedingung 0<a<b gelten muss?

Vielen Dank

Gruss Domi

Answer 1

Hallo Domi,

Was muss ich jetzt machen um auf die Maxima und Minima der Funktion zu kommen?

Das Lagrange-Verfahren liefert Dir nicht die Information, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. Setze die vier Punkte - bzw. xy-Paare in die Hauptbedingung ein. Da \(b \gt a\) sein soll, wirst Du für das Paar \((x_2;y_2)\) eine größeren Wert erhalten. Da Du davon ausgehen kannst, dass die Funktion auf der Nebenbedingung stetig und stetig differenzierbar ist, werden diese beiden Punkte lokale Maxima und die andern beiden demzufolge lokale Minima sein.

Es lohnt auf jeden Fall, sich das ganze mal räumlich vorzustellen. \(f(x,y)=x^2+y^2\) ist ein Paraboloid. Und die Nebenbedingung ist eine Ellipse, die um 45° gegenüber den Hauptachsen verdreht ist. Jetzt stelle Dir eine ellipsenförmige Kuchenstechform vor, die aus einem Paraboloiden mittig ein Stück heraus sticht. Die höchsten Erhebungen werden sicher dort sein, wo die lange Hauptachse der Ellipse ist, da diese Punkte der Ellipse am weitesten vom Ursprung entfernt sind. Die Minima entsprechend da, wo die Ellipse dem Ursprung am nächsten kommt.

Das kann etwa so aussehen:

Gruß Werner

Answer 2

Hey Domi bist du damals weiter gekommen?Viele Grüße