Text erkannt:
(1) Untersuchen Sie, in welchen Punkten \( a \in \mathbb{R}^{3} \) die Funktion \( f \) stetig ist:
(a) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:(x, y, z) \mapsto\left\{\begin{array}{cl}0 & \text { für }(x, y, z)=(0,0,0) \\ \frac{x y z}{|x|+|y|+|z|} & \text { für }(x, y, z) \neq(0,0,0)\end{array}\right. \)
(b) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:(x, y, z) \mapsto\left\{\begin{array}{cl}0 & \text { für }(x, y, z)=(0,0,0) \\ \frac{x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} & \text { für }(x, y, z) \neq(0,0,0)\end{array}\right. \)
(c) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:(x, y, z) \mapsto\left\{\begin{array}{cl}0 & \text { für }(x, y, z)=(0,0,0) \\ \frac{x y z}{|x|^{3}+|y|^{3}+|z|^{3}} & \text { für }(x, y, z) \neq(0,0,0)\end{array}\right. \)
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Die Aufgabe 1a) konnte ich bereits lösen. Für die "Nicht kritischen Punkte" bzw. (x,y,z) != (0,0,0) habe ich mit stetigen Funktionen argumentiert und beim Punkt (0,0,0) habe ich mit der Epsilon-Delta Definiton der Stetigkeit gearbeitet, bzw. abgeschätzt und bin auf ein passendes Epsilon gekommen. Hier meine Notizen:
Text erkannt:
fall 2 ) \( (x, y, z)=(0,0,0) \)
Wir verwenden die summennorm \( \|\times\|_{1} \)
Nun bin ich bei Aufgabe 1b) und komme beim abschätzen nicht weiter... Hier mein Ansatz:
Text erkannt:
\( \left.F_{2} \|_{2}\right)(x, y, z)=(0,0,0) \)
wible \( \delta= \)
$$ \begin{array}{l}\mid f(x, y, z)-\left((0,0,0) \mid=\frac{|x y z|}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq \frac{1}{27} \frac{|x+y+z|^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right. \\ \leq \frac{1}{27} \frac{(|x|+|y|+|z|)^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\end{array} $$
Bin ich auf dem richtigen Weg oder vertue ich mich da?
