Aloha :)
Wir zeigen zuerst, dass die Folge$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$beschränkt ist. Mit der Bernoulli-Ungleichung finden wir eine Abschätzung nach unten:$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge1+\frac{1}{n}\cdot n=2$$Zur Abschätzung nach oben verwenden wir den binomischen Lehrsatz:
$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\cdot n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n}{n}\,\frac{n-1}{n}\,\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$$$\phantom{a_n}\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}$$$$\phantom{a_n}\le1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{(n-2)(n-1)}+\frac{1}{(n-1)n}$$$$\phantom{a_n}=2\!+\!\left(\frac{1}{1}\!-\!\frac{1}{2}\right)\!+\!\left(\frac{1}{2}\!-\!\frac{1}{3}\right)\!+\!\left(\frac{1}{3}\!-\!\frac{1}{4}\right)\!+\!\cdots\!+\!\left(\frac{1}{n-2}\!-\!\frac{1}{n-1}\right)\!+\!\left(\frac{1}{n-1}\!-\!\frac{1}{n}\right)$$$$\phantom{a_n}=2+\frac{1}{1}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}<3$$
Damit haben wir alle Folgenglieder nach unten und oben begrenzt:$$2\le a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n<3$$
Wir müssen nun noch zeigen, dass die Folge monoton ist, sie ist sogar streng monoton wachsend. Für die benötigte Abschätzung überlegen wir uns, dass für zwei positive Zahlen \(a,b>0\) gilt:$$a\le b\implies ab+a\le ab+b\implies a(b+1)<b(a+1)\implies\frac{a}{b}\le\frac{a+1}{b+1}$$
Wir greifen nun aus der vorigen Rechnung die letzte Summe auf, bei der noch Gleichheit herrschte und nutzen die gerade hergeleitete Ungleichung zur weiteren Abschätzung:$$a_n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n}{n}\,\frac{n-1}{n}\,\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$$$\phantom{a_n}\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n+1}{n+1}\,\frac{n}{n+1}\,\frac{n-1}{n+1}\cdots\frac{n+1-k+1}{n+1}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!\,(n+1)^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!\,(n-k+1)!}\,\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}<\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\,1^{(n+1)-k}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=a_{n+1}$$
Die Folge \((a_n)\) ist also beschränkt durch \(2\le a_n<3\) und streng monoton wachsend. Daher ist sie konvergent und ihr Grenzwert liegt zwischen \(2\) und \(3\).
