Aufgabe zu Abschätzungen von Fakultäten. Zeige: n^{n/2} ≤ n!

Question

Beweise die Ungleichung: n^{n/2} ≤ n!

eventuell mit vollständiger Induktion.

Answer 1

n! ≥ n^{n/2}

Induktionsanfang n = 1

1! ≥ 1^{1/2}

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)! ≥ (n + 1)^{(n + 1)/2}
n!·(n + 1) ≥ (n + 1)^{n/2 + 1/2}
n^{n/2}·(n + 1) ≥ (n + 1)^{n/2}·(n + 1)^{1/2}
n^n·(n + 1)^2 ≥ (n + 1)^{n}·(n + 1)
n^n·(n + 1) ≥ (n + 1)^n
(n + 1) ≥ ((n + 1)/n)^n
n + 1 ≥ (1 + 1/n)^n
Der rechte Term nähert sich e an. Der linke wächst aber ins unendliche.

Comments

n!·(n + 1) ≥ (n + 1)^{n/2 + 1/2}
n^n/2·(n + 1) ≥ (n + 1)^n/2·(n + 1)^1/2

Dieser Schritt ist mir unklar.

Laut Induktionsvoraussetzung gilt:

n! ≥ n^n/2

Dann aber folgt aus:

n!·(n + 1) ≥ (n + 1)^{n/2 + 1/2}

doch nicht zwingend, dass auch:

n^n/2·(n + 1) ≥ (n + 1)^n/2·(n + 1)^1/2

gilt.
n^n/2 kann doch so viel kleiner als n ! sein, dass n^n/2·(n + 1) auch kleiner als (n + 1)^n/2·(n + 1)^1/2 ist ....

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Ja nach Induktionsannahme gilt ja 

n! ≥ n^n/2

Also darf ich doch damit abschätzen. Dann müsste aber im Folgenden ein Fehler sein, denn trotz Abschätzung nach unten ist es ja größer.

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Meinst du mit „e“ die Funktion?

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Nein die Zahl e ist keine Funktion. y = e^x wäre eine Funktion

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Und was hast du dann mit „e“ gemeint?

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Die Zahl e. Sie ist ungefähr 2.718

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Ich kenne diese zwar nicht, aber z.B. für n=4: (1+1/4)^4= 2,44140625, kann es bei irgendeinem n dann aber größer als „e“ sein?

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Nein. Der Term nähert sich nur im unendlichen der 2.718. Wird aber nicht größer. Daher hat man das gezeigt.

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Ja nach Induktionsannahme gilt ja 

n! ≥ n^n/2

Also darf ich doch damit abschätzen.

 

Aber doch nicht nach unten.

Wenn 5 > 2 ist (was ja der Fall ist) und man die Ungleichung  5 > 4 hat, dann kann man doch daraus offensichtlich nicht folgern, dass dann auch 2 > 4 ist.

Genau das aber hast du getan ...

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Mathecoach, Zeile 3 zu 4, wie kannst du eine Potenz mal 2 nehmen ?

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Man kann beide Seiten der Gleichung Quadrieren.

z.B. x^2 * x^2 = x^4

Answer 2

Quadrieren liefert die Behauptung \(n^n\leq\left(n!\right)^2\).
Beweis der Behauptung per Induktion über \(n\).
Offenbar stimmt die Behauptung für \(n=1\) und \(n=2\).
Es gebe nun ein \(n>1\) für das die Behauptung gilt.
Zu zeigen ist, dass die Behauptung für \(n+1\) gilt.$$\text{Für alle }n\in\mathbb N\text{ gilt }(n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot(n+1)^n.$$$$\text{Bekanntlich gilt }\left(1+\frac1n\right)^n<3\text{ für alle }n\in\mathbb N.\text{ Es folgt }\left(n+1\right)^n<3n^n.$$Nach Induktionsvoraussetzung folgt damit$$(n+1)^{n+1}<(n+1)\cdot3n^n\leq(n+1)\cdot(n+1)\cdot \left(n!\right)^2=\big((n+1)!\big)^2.$$