Gib für folgenden Ausdruck Abschätzungen nach oben und unten an

Question

Aufgabe:

Hallo, im Vorkurs Mathematik in der Uni haben wir unter anderem die Aufgabe bekommen, für folgenden Ausdruck Abschätzungen nach oben und unten anzugeben, die für alle x ∈ [−1, 1] gelten:

4x^3 −2x^2 −3x+1

Problem/Ansatz:

Bei den Aufgaben davor hab ich einmal -1 und einmal 1 eingesetzt und dann als Lösung

"kleinere Zahl" ≤ Term ≤ "größere Zahl" geschrieben was auch der Lösung entsprach, bei der oben genannten Aufgabe ist die Lösung jedoch 4x^3 −2x^2 −3x+1 ∈ [−8,8] und ich verstehe nicht wie man darauf kommt.

Wir sollen es übrigens nicht per Ableitung lösen.

Vielen Dank schon einmal

Answer 1

4·x^3 - 2·x^2 - 3·x + 1

Schätzte jeden Summanden getrennt ab

- 4 ≤ 4·x^3 ≤ 4
- 2 ≤ - 2·x^2 ≤ 0
- 3 ≤ - 3·x ≤ 3
1 ≤ 1 ≤ 1

Addiere jetzt alle unteren und oberen Abschätzungen getrennt und du kommst auf den Wertebereich [- 8 ; 8].

Comments

Vielen Dank, also muss ich sobald ich x^2 oder eine noch höhere Potenz habe jeden Summanden getrennt abschätzen?

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Das kann man so machen. Es gibt mehrere Methoden solch ein Polynom abzuschätzen. Aber offensichtlich wurde das in der Lösung so gemacht.

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Dann hab ich das nun endlich auch verstanden vielen Dank nochmals :)

Answer 2

Für \(x\in [-1,1]\) und \(n\in \mathbb{N}\) ist \(|x^n| \leq |x|\).

Für \(x \in [0,1]\) ist deshalb

        \(\begin{aligned} & -4\\ =\ & 0-2-3+1\\ =\ & 4\cdot0^{3}-2\cdot1^{2}-3\cdot1+1\\ \leq\ & 4x^{3}-2x^{2}-3x+1\\ \leq\ & 4\cdot1^{3}-2\cdot0^{2}-3\cdot0+1\\ =\ & 4-0-0+1\\ =\ & 5 \end{aligned}\)

Für \(x \in [-1,0]\) ist analog dazu \(-5\leq 4x^3 −2x^2 −3x+1 \leq 1\).

Also ist

        \(-5\leq 4x^3 −2x^2 −3x+1 \leq 5\)

für \(x\in [-1,1]\).