Beweisen Sie mit Hilfe der Abschätzungen, dass cos′ (0) = 0 ist und dass cos′ (x) = − sin(x) für alle x ∈ R ist

Question

(a) Beweisen Sie mit Hilfe der Abschätzungen aus Lemma 8.14, dass cos′ (0) = 0 ist.

(b) Beweisen Sie, dass cos′ (x) = − sin(x) für alle  x ∈ ℝ ist.

Lemma 8.14 Für 0 ≤  x ≤ √ 12 gelten: 

1 − (x² / 2) ≤ cos x ≤ 1 − (x² / 2) + (x⁴ / 24) , 

x − (x³ / 6) ≤ sin x ≤ x − (x³ / 6 )+ (x⁵ /120)

Answer 1

Wenn Du \(cos'(0)=0\) zeigen sollst, dann ist damit gemeint: Du sollst \(\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos 0}{x-0}\) ausrechnen und als Ergebnis \(0\) erhalten.