Beweisen Sie mit Hilfe der Abschätzung, dass cos′(0) = 0 ist.

Question

Aufgaben:

a) Beweisen Sie mit Hilfe der Abschätzung (siehe Anhang), dass cos′(0) = 0 ist.

b) Beweisen Sie, dass cos′(x) = − sin(x) fur alle  x ∈ ℝ ist.

Anhang:

Für \( 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{12} \) gelten:

\( \begin{array}{l} 1-\frac{x^{2}}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24} \\ x-\frac{x^{3}}{6} \leqslant \sin x \leqslant x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120} \end{array} \)

Answer 1

Für cos'(0) musst du den Ansatz machen

cos(x) - cos(0)    /    x -   0            =   (cos(x) - 1) /  x

und dann schauen, ob das für x gegen 0 einen GW hat, das wäre dann cos'(0).

Aus der gegebenen Abschätzung bekommst du

-x^2 / 2  <=  cos(x) - 1   <=  -x^2 / 2  +  x^4 /24

also nach Division durch x, falls x > 0

-x / 2  <=  cos(x) - 1   <=  -x / 2  +  x^3 /24

Weil es rechts und links gegen 0 geht, geht auch die Mitte gegen Null.

Für x<0 ist es entsprechend:

-x / 2  >=  cos(x) - 1   >=  -x / 2  +  x^3 /24

also auch GW 0.

Comments

und dann schauen, ob das für x gegen 0 einen GW hat, das wäre dann cos ' (o). 
und aus der gegebenen Abschätzung bekommst du 

das habe ich leider nicht verstanden , könntest du es mir bitte erklären  ? das wäre nett . Danke 

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ich habe b) versucht , kann mir jdn sagen ob das richtig ist ? 
lim(h->\0, (cos(x+h)-cos(x))/h)
= lim(h->0, (cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x))/h)
= lim(h->0, (cos(x)(cos(h) - 1) - sin(x)sin(h))/h)
= lim(h->0, cos(x) * (cos(h) - 1)/h - sin(x) * sin(h)/h)

lim(h->0, (cos(h) - 1)/h) = 0
lim(h->0, sin(h)/h) = 1

lim(h->\0, (cos(x+h)-cos(x))/h) = -sin(x)

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ist alles richtig, benutzt allerdings nicht die gegebene Abschätzung

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in a steht mit hilfe der abschätzung aber in b nicht oder? 

wie kann man das mit abschätzung beweisen ? 

(und dann schauen, ob das für x gegen 0 einen GW hat, das wäre dann cos ' (o).  
und aus der gegebenen Abschätzung bekommst du  ) ===> und das habe ich auch nicht von dir verstanden :( 

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aus dem Ansatz für den differenzenquotient hatte ich ja

(cos(x) - 1 ) / x  und brauche den GW für x gegen Null.

mit der Abschätzung gab das (bei allen Termen -1)

   -x² / 2  <=  cos(x) - 1   <=  -x² / 2  +  x⁴ /24

also nach division durch x, falls x > 0 

hier hatte ich das /x nicht getippt.
     -x / 2  <=  (cos(x) - 1)/x   <=  -x / 2  +  x³ /24

und damit kannst du den GW für x gegen 0 leicht bestimmen,

denn der interessierende Teil   (cos(x) - 1)/x

bewegt sich ja zwischen      -x / 2  und   -x / 2  +  x³ /24

diese beiden eingrenzenden Terme haben aber für x gegen 0

den GW 0 (sind halt stetige Funktionen)

wenn der Differenzenquotient aber immer zwischen zweien

liegt, die gegen N ull gehen, tut er das selber auch.

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aber der GW von  (cos(x) - 1) / x für x gegen 0 ist nicht 0 oder??? 

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und nach devision durch x warum bleibt (cos(x)-1) / x ? wir haben ja durch x dividiert oder? 

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kann bitte jemand bei b) helfen ? 

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  und nach devision durch x warum bleibt (cos(x)-1) / x ?

wir haben ja durch x dividiert oder?

-x² / 2  <=  cos(x) - 1   <=  -x² / 2  +  x⁴ /24 

so war es vorher nach der subtraktion der 1

Dann wird dividiert, also kommt das "durch x" bei dem mittleren

Term hin, bei den anderen beiden ändern sich die Hochzahlen

     -x / 2  <=  (cos(x) - 1)/x   <=  -x / 2  +  x³ /24

aber der GW von  (cos(x) - 1) / x für x gegen 0 ist nicht 0 oder??? 

na klar, das ist doch grad der Pfiff. die Abl. von

cos an der Stelle 0 ist der GW von (cos(x) - 1)/x

und der ist 0, wie die Abschätzung zeigt.