Question

Beweisen Sie, dass für alle  x, y ∈ R gilt:

cos(x) − cos(y) = −2 sin ( (x+y)/2 ) * sin ( (x-y) / 2)

Hinweis: Nutzen Sie eines der Additionstheoreme.

Wie soll ich es beweisen?

Answer 1

−2 sin ( (x+y)/2 ) * sin ( (x-y) / 2)
=−2 sin ( x/2 +y/2 ) * sin ( x/2 -y / 2)

=-2 * (sin(x/2)*cos(y/2)-cos(x/2)*sin(y/2) ) *  (sin(x/2)*cos(y/2)+cos(x/2)*sin(y/2)

mit 3. binomi. Formel

=-2 * (  (sin(x/2)*cos(y/2))^2  -  (cos(x/2)*sin(y/2) )^2  )

=-2  * ( (sin(x/2)^2*cos(y/2)^2    -   (cos(x/2)^2*sin(y/2)^2  )

sin(x/2)^2 durch  1-cos(x/2)^2 ersetzen  und sin(y/2)^2 durch  1-cos(y/2)^2

=-2  * ( (1 - cos(x/2)^2 ) *cos(y/2)^2    -   (cos(x/2)^2*   ( 1-cos(y/2)^2 )  )

= -2  * ( cos(y/2)^2 - cos(x/2)^2  *cos(y/2)^2    -   cos(x/2)^2   + cos(y/2)^2 *  cos(x/2)^2 )

= -2  * ( cos(y/2)^2     -   cos(x/2)^2  )

= 2  *  cos(x/2)^2     - 2 * cos(x/2)^2

und mit der Formel für cos(2a) = 2cos(a)^2 - 1

                    bzw.   2 cos(a)^2 =  cos(2a) + 1

die auch aus dem Add.theorem folgt gibt das

=  (cos(x)+1)   -  (cos(y)+1)   =  cos(x) - cos(y) .