Begründen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (für x = y), dass gilt cos( x♣/2) = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Question

Sei π/2 := x_♣ die kleinste positive Nullstelle der Cosinus-Funktion. Begründen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (für x = y), dass gilt 

cos( x_♣/2) = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Answer 1

0 = cos ( x♣)  =   cos( x♣/2  +  x♣/2 )

       0               =   cos( x♣/2) * cos( x♣/2 )  -  sin ( x♣/2 ) * sin( x♣/2 )

        0              =   cos^2 ( x♣/2)   -  sin^2  ( x♣/2 )   #

Und wegen      cos^2 (x)   + sin^2  ( x) = 1 für alle x

gilt auch      sin^2  ( x♣/2 )  =  1 - cos^2 ( x♣/2)    bei # eingesetzt gibt

        0              =  - 1 + 2 cos^2 ( x♣/2)

==>    1              =  2 cos^2 ( x♣/2)

 ==>    1/2              =  cos^2 ( x♣/2)

und weil x♣/2  die kleinste pos. Nullstelle von cos ist und cos(0)=1>0

und cos eine stetige Funktion ist, deshalb ist cos im

Bereich von 0 bis x♣/2 immer positiv und damit

  1/√2              =  cos ( x♣/2)   

Answer 2

Hallo

cos(x)=cos(x/2+x/2)=cos(x/2)*cos(x/2)-sin(x/2)*sin(x/2)

mit sin^2=1-cos^2 dann cos(x)=cos^2(x/2)-1+cos^2(x/2)

0=2*cos^2(π/4)-1, das nach cos(π/4) auflösen überlasse ich dir!

Gruß lul

Comments

Gibt aber beim Auflösen 2 Lösungen !