Additionstheoreme - Formel für cos(3x) herleiten

Question

Aufgabe:

Leiten Sie cos(3x) in Abhängigkeit von cos(x) her.

Problem/Ansatz:

Was ich schon habe:

cos(3x) = cos(x) * cos(2x) - sin(x) * sin(2x) = cos(x) * ($cos^{2}$(x) - $sin^{2}$(x)) - sin(x) * 2sin(x) * cos(x) =

= cos(x) * ($cos^{2}$(x) - $sin^{2}$(x)) - 2$sin^{2}$(x) * $cos^{2}$(x)

Ich weiß nur nicht was man jetzt noch weiter vereinfachen kann.

Comments

Das letzte Quadrat ist zu viel.

Answer 1

Verwende cos(x)² + sin(x)² = 1

bzw.  sin(x)² = 1 - cos(x)² und erhalte

cos(3x)=4cos(x)³ - 3cos(x)

Comments

Wenn ich sin(x)² = 1 - cos(x)² verwende, dann bekomm ich irgendwie was ganz anderes raus: cos(x) * (cos(x)² - (1 - cos(x)²)) - 2cos(x)² * (1 - cos(x)²) = cos(x)³ - cos(x) - cos(x)³ - 2cos(x)² * 2cos(x)⁴

---

=   $cos(x)(cos^{2}(x) - sin^{2}(x)) - 2 sin^{2}(x) \cdot cos(x)$

Hier war das letzte "hoch 2 " falsch, hatte ich erst übersehen.

=  $cos(x)(cos^{2}(x) -(1 -cos^{2}(x)) )- 2 (1 -cos^{2}(x)) \cdot cos(x)$

=  $cos(x)(cos^{2}(x) -1 +cos^{2}(x)) )- 2 (cos(x)-cos^{3}(x))$

=  $cos(x)(cos^{2}(x) -1 +cos^{2}(x) ) -2cos(x)) +2cos^3(x)$

=  $2cos^{3}(x) -cos(x) -2cos(x) +2cos^3(x)$

Jetzt passt es !

Answer 2

Aloha :)

Deine Idee ist gut:$$\cos(3x)=\cos(x+2x)=\cos(x)\cdot\red{\cos(2x)}-\sin(x)\green{\sin(2x)}$$$$\phantom{\cos(3x)}=\cos(x)\cdot(\red{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)})-\sin(x)\cdot(\green{\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x)})$$$$\phantom{\cos(3x)}=\cos(x)\cdot(\red{\cos^2(x)-\sin^2(x)})-\sin(x)\cdot(\green{2\sin(x)\cos(x)})$$$$\phantom{\cos(3x)}=\cos^3(x)-\cos(x)\sin^2(x)-2\sin^2(x)\cos(x)$$$$\phantom{\cos(3x)}=\cos^3(x)-3\cos(x)\pink{\sin^2(x)}=\cos^3(x)-3\cos(x)(\pink{1-\cos^2(x)})$$$$\phantom{\cos(3x)}=\cos^3(x)-3\cos(x)+3\cos^3(x)$$$$\phantom{\cos(3x)}=4\cos^3(x)-3\cos(x)$$