Zeige mittels Additionstheoreme, dass \cos (\frac{\pi}{3}) eine Nullstelle des Polynoms ist.

Question

Aufgabe: (Aus einer Altklausur)

Text erkannt:

Sei folgende Funktion gegeben (Ja, stand genauso in der Klausur, es gab diese Gleichheit):
\( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}: t \mapsto 4 t^{3}-3 t+1=(t+1)(2 t-1)^{2} \)
a. Zeige mittels Additionstheoreme, dass \( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \) eine Nullstelle des Polynoms ist.
b. Berechne damit den Wert von \( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \)

Problem/Ansatz:

bei der a) habe ich große Probleme die Nullstelle zu zeigen.

Ich nehme an man sollte t mit cos(pi/3) ersetzen aber man sollte cos(pi/3) nicht direkt auf 1/2 auswerten, ich habe gesehen dass (2t - 1)^2 für t=cos(pi/3) gleich Null werden sollte und habe dabei habe ich dann cos(pi/3) auf cos(pi/6 + pi/6) unterteilt, um die Additionstheoreme für cosinus benutzen zu können. Ich bleibe aber dann immer stecken nachdem ich die Additionstheoreme anwende und verstehe nicht wie man letztendlich die Nullstelle zeigen soll.

Ebenso verstehe ich bei der b) nicht ganz was mit der Frage gemeint ist, bzw. was da noch zu tun ist nachdem man die a) gelöst hat.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Comments

Die Meinung des Aufgabenstellers war wohl, dass die braven "Lernlinge" da ausgiebig mit Additionstheoremen etc. rumjonglieren sollten.

Eigentlich hätte es ihm ja bewusst sein müssen, dass jeder gesunde Student, der beim Thema "Additionstheoreme" angelangt ist, wohl auch die am einfachsten zu merkenden Zahlenwerte der Funktionen sin und cos kennt.

Deshalb muss man sagen, dass beim Autor der Aufgabe wohl irgendwie die Winkelsumme nicht genau stimmt .....

Answer 1

Hallo,

ich nehme an man sollte t mit cos(pi/3) ersetzen

das ist richtig.

... und habe dabei habe ich dann cos(pi/3) auf cos(pi/6 + pi/6) unterteilt,

das ist wahrscheinlich nicht zielführend. Besser Du überlegst Dir, wie Du zu den Potenzen von \(\cos^2(x)\) und \(\cos^3(x)\) kommst. Es gilt$$\cos^3(x)=\frac{1}{4}\left(3\cos(x) + \cos(3x)\right)$$Setze dies mit \(x=\pi/3\) bzw. \(t = \cos(\pi/3)\) in die Funktion $$f(t) = 4t^3 - 3t + 1$$ein. Du kannst selber auf den obigen Ausdruck mit der Potenz \(\cos^3\) kommen, wenn Du die Additionstheoreme auf $$\cos(x + x) = \dots \\ \cos(2x + x) = \dots$$anwendest.

Falls Du nicht klar kommst, so melde Dich bitte nochmal.

Gruß Werner

Comments

Es hat etwas gedauert aber ich denke ich habe endlich die Herleitung für cos^3(x)mit deinem Tipp, und damit wurde die Aufgabe sehr einfach. Die Formel notiere ich mir auf jeden Fall.
Danke!

---

Dieser Tipp hat mir echt in der Klausur geholfen, da es die selbe Aufgabe gab, nur mit Sinus. Riesen Danke nochmal :)

---

Das freut mich, dass ich Dir helfen konnte. Und vielen Dank für Dein Feedback :-)

Answer 2

(t+1)*(2t-1)^2 = 0

t= - 1 v t=  1/2

cos(pi/3) = cos60° = 1/2

Comments

Hey danke für die Antwort!

Ich weiß nicht ob deine Antwort für die b) gemeint war. Wenn das die Lösung dafür wäre ist das sehr hilfreich.
Falls nein, wir sollten die a) (zwangsweise) mittels Additionstheoreme für Cosinus/Sinus beweisen.

Ich würde sehr gerne einfach cos(pi/3) auswerten aber das dürfen wir wohl nicht (für die a)).
Als Tipp wurde gennant cos(pi/3) = cos(pi/6 + pi/6).

---

Wenn das die Lösung dafür wäre ..

ist es IMHO nicht!

Answer 3

Vermutlich sollst du zeigen, dass \(4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)-4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+1 \)=0 gilt.

Ich denke da eher an die Verwendung der Doppelwinkelformel

cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)= -1+2cos²(x)

Aus cos(2x)= -1+2cos²(x) folgt

4 cos²x=2+2 cos(2x) und somit

\(4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)=2+2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \)

bzw. (wegen Quadratenbeziehungen)

\(4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)=2-2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \).

Wenn man das oben einsetzt, erhält man

\(3-6 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \).

Das ist jetzt zwar immer noch nicht der Nachweis, dass das 0 ergibt. Aber WENN das 0 ergibt, hat man den Kosinuswert.