Beweis eines Additionstheorems
Zu zwei vorgegebenen Winkeln α und β mit (α+β)< 180° sei ein Parallelogramm ABDC so gewählt, dass eine Diagonale AC des Parallelogramms ABCD mit den Seitenlängen a und b einen Innenwinkel in α und β teilt. Außerdem sei die Längeneinheit so gewählt, dass b=1. Nach der Definition von sin und cos gelten dann die folgenden Bezeichnungen:
Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist dann einerseits a·sin(α+β), andererseits zerlegt die Diagonale AC das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke, die zusammen den Flächeninhalt (cosβ+acosα)·a·sinα haben. Also gilt:
a·sin(α+β) = (cosβ+a·cosα)·a·sinα und nach Division durch a
sin(α+β) = (cosβ+a·cosα)·sinα=sinα·cosβ+ sinα·a·cosα und wegen sinαa = sinβ gilt dann
sin(α+β) =sinα·cosβ+ sinβ·cosα.