Additionstheoreme Benutzen aber WIE?

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass folgende Gleichheit für alle α ∈ [0,π/2) gilt: (Additionstheoreme nutzen)

2SIN(α)*\( \sqrt{(1-SIN(α))(1+SIN(α))} \)=SIN(2α)

Problem/Ansatz: Ich würde erstmal die 3. Bin. Formel benutzen. Also : 2SIN(α)*\( \sqrt{(1-sin^2(α))} \)=SIN(2α)

Dann die Hoch 2 wegstreichen, damit die Wurzel weg ist.

2SIN(α)*(1-sin^2(α))=SIN(2α)

Aber ab hier weiß ich leider auch nicht mehr weiter. Ich weiß nicht wie ich die Additionstheoreme nutzen soll. Kann mir jemand vlt. weiterhelfen ?

Comments

Tipp: Es ist sin²(x)+cos²(x)=1 für alle x∈ℝ.

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also ich hatte jetzt folgenden Ansätze: 
1.) 2sin(α)*sin^2(α)+cos^2(α)-sin(α)=sin(2α)

     => 2sin^3(α)+cos^2(α)-sin(α)=sin(2α) und hab hier wieder kp ... :/

2.) sin(2α)=sin(α+α) => sin(α)*cos(α)+sin(α)*cos(α) => 2sin(α)*cos(α) ...

stehe sonst immer noch auf dem Schlach :/

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\(\quad2\sin(\alpha)\cdot\sqrt{\color{red}{1-\sin^2(\alpha)}}\\=2\sin(\alpha)\cdot\sqrt{\color{red}{\cos^2(\alpha)}}\\=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha).\)

Answer 1

Ist dir bekannt dass

2SIN(α)*cos(α)(=SIN(2α) gilt?

(So genannte Doppelwinkelformel, folgt aus dem Additionstheorem für sin(α+β) in dem Spezialfall α=β.)

Du hast also lediglich nachzuweisen, dass dieser Wurzelterm gleich cos(α) ist.

Comments

Danke für deine Antwort / Ansatz, jedoch stehe ich da leider wirklich auf dem Schlauch. 
Ich weiß einfach nicht, wie ich da jetzt weitermachen muss. :/

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also ich hatte jetzt folgenden Ansätze:
1.) 2sin(α)*sin^2(α)+cos^2(α)-sin(α)=sin(2α)
    => 2sin^3(α)+cos^2(α)-sin(α)=sin(2α) und hab hier wieder kp ... :/


2.) sin(2α)=sin(α+α) => sin(α)*cos(α)+sin(α)*cos(α) => 2sin(α)*cos(α) ...
stehe sonst immer noch auf dem Schlach :/