Sinus und Kosinus, Herleitung von Formel durch Additionstheoreme + Berechnung von Cos/Sin durch Wurzeldarstellung

Question

a) Benutzen Sie die Additionstheoreme für \( \sin (x+y) \) und \( \cos (x+y) \) sowie \( \sin ^{2} z+\cos ^{2} z=1, \) um Formeln für \( \sin (2 x) \) und \( \cos (2 x) \) herzuleiten. Für \( \cos (2 x) \) leiten Sie bitte zwei Formeln her, eine, die nur cos \( x \) verwendet, und eine, die nur sin \( x \) verwendet.

b) Nutzen Sie a) und die bekannten Funktionswerte von, cos, um die Werte (i) \( \cos \frac{\pi}{8}, \) (ii) \( \cos \frac{\pi}{12}, \) (iii) \( \sin \frac{\pi}{12}, \) (iv) \( \cos \frac{\pi}{16} \) zu berechnen. (Die Ergebnisse unter Verwendung von Wurzeln darstellen, nicht in den Taschenrechner tippen, logischerweise :^))

Answer 1

Zu a) sin(2x)=sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2cos(x)sin(x)

cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)=cos²(x)-sin²(x)=cos²(x)-(1-cos²(x))=2cos²(x)-1

                                                                    cos²(x)-sin²(x))=1-sin²(x)-sin²(x)=1-2sin²(x).

Comments

Okay das ist gut nachvollziehbar danke
& zu b)?

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b) (I) Bereits gezeigt:cos(2x)=2cos²(x)-1. Für x=π/8 wird daraus: cos(π/4)=2cos²(π/8)-1 oder (√2+2)/2=2cos²(π/8). (Bedenke cos(π/4)=√2/2)

Auf beiden Seiten durch 2 und danach die Wurzel ziehen: cos(π/8)=\( \frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2} \)

Der Rest geht ähnlich.