a) Zeigen Sie:
Sei \( z \in \mathbb{C} \) eine Nullstelle eines Polynoms \( P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) mit reellen Koeffizienten \( a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \)\( \mathbb{R} . \) Dann ist auch \( \bar{z}, \) das Konjugiert-Komplexe von \( z, \) Nullstelle von \( P \) Hinweise: Machen Sie bei jedem Umformungsschritt deutlich, warum dieser zulissig ist bzw. was Sie verwenden. Verwenden Sie u.a. die Gesetze \( \frac{1}{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}, \overline{z_{1} z_{2}}=\overline{z_{1} z_{2}} \)
b) Ein Polynom \( P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) vierten Grades habe reclle Koeffizienten. Es gelte ferner \( P(i)=P(-1+2 i)=0 \) und \( P(1)=8 . \) Berechnen Sie die Koeffizienten von \( P \) Hinweis: Fundamentalsatz der Algebra (s. Vorl.) beachten. Welche (komplexen) LinearTaktoren kennen Sie?
