Wie kann ich bei dieser Aufgabe zu den komplexen Zahlen weiter rechnen?

Question

Es würde mir sehr helfen, wenn sich jemand die Aufgabe anschauen könnte und mir sagt, ob das was ich bis jetzt gemacht habe korrekt ist und mir dann möglicherweise Hilfestellung für die weitere Lösung der Aufgabe gibt. Gerne auch nur mit Stichpunkten zu Sachen die ich dann google um selbst zu recherchieren. Vielen Dank! Also zur Aufgabe:


Bestimmen Sie alle z ∈ ℂ für die gilt:

|1 + iz|² < 1 und Im(z - i) > 0.

und skizzieren Sie die Lösungsmenge in der komplexen Ebene.

Mein Ansatz war nun folgender:

1. Ich schreibe z in der kartesischen Form mit z = x + iy ; wobei x, y ∈ ℝ.

Also haben wir nun: |1 + i * (x + yi)|² < 1 und Im(x + iy - i) > 0

2. Etwas zusammenfassen / berechnen:

|1 - y + ix|² < 1 und Im(x + i * (y - 1) > 0

3. Rechts haben wir die Antwort:

|1 - y + ix|² < 1 und y - 1 > 0 bzw. y > 1.

Und nun habe ich das Problem, dass ich bei der linken Seite nicht mehr weiter komme. Mir ist schon aufgefallen, dass es links vielleicht besser gewesen wäre mit z zu rechnen und habe dann rausbekommen:

|1 - z² + i (z + z)| < 1, aber weiter komme ich nicht.

Answer 1

Hallo,

\( |1 + iz|^2\\=|1+i(x+iy)|^2\\=|1-y +ix|^2\\=(1-y)^2 +x^2\\=(x-0)^{2}+(y-1)^{2}<1 \)

Das ist das Innere eines Kreises mit dem Mittelpunkt 0+1•i und dem Radius 1. Durch die zweite Bedingung y>1 ist es nur die obere Hälfte.

Comments

Muss man bei Betragsstrichen nicht fast immer Fallunterscheidungen machen?

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Bei reellen Zahlen schon.

Bei komplexen geht es ja in der Regel um Flächen, die von Geraden und Kreisen begrenzt sind.