Aufgabe über Rechnen mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

a) Schreiben Sie die folgenden Zahlen z ∈ C in der Form x + yi mit x, y ∈ R :

(i) \( z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\frac{1}{2+\mathrm{i}}+\frac{1}{3+i} \),

(ii) \( z=\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2} \),

(iii) \( z=\frac{(2+\mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})}{3+4 \mathrm{i}} \).

b) Gegeben seien die komplexen Zahlen

\( z_{1}=8+8 \sqrt{3} \mathrm{i}, z_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{i} \)

(i) Berechnen Sie von z1, z2, z1 · z2 und z1/ z2 den Realteil, Imaginärteil und den Betrag.

(ii) Berechnen Sie \( z_{2}^{6} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo

wie schon bei deinen anderen Fragen, bei Brüchen immer mit dem konjugierte des Nenners erweitern.

Und schreib bitte nicht deinen ganzen Übungszettel hier als Fragen rein ohne irgendetwas selbst zu versuchen. So geht dein Studium sonst schief.

lul

Answer 2

Zu komplexen Zahlen habe ich mir folgendes notiert, ich weiß meine Schrift ist nicht die schönste und handschriftliche Notizen sind eigentlich nicht erlaubt, aber das abschreiben würde zu lange dauern, aber evtl hilft es dir weiter (sollte das nicht in Ordnung sein, einfach löschen)

Was mir auch immer hilft, ist die Seite symbolab.com, da wird zwar der Rechenweg oft unnötig kompliziert angezeigt, aber man kann zumindest seine Lösung prüfen.

NF steht für Normalform, also z = a+bi

TF steht für trigonometrische Form, also z = IzI (cos + i sin)

Text erkannt:

Multiplikation:
\( \begin{array}{l} -N F: z_{1} \cdot z_{2}=(5+3 i) \cdot(4-2 i) \rightarrow \text { normol auflosen } \\ -T F: z_{1} \cdot z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| \cdot\left(\cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)+i \cdot \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\right. \end{array} \)
Division:
\( \begin{aligned} \text {-NF: } \frac{5+3 i}{4-2 i} & \rightarrow \text { Ziel: 3. binomische Formel mass o } \\ & \rightarrow \text { Bxoc4 erritern zu: } \\ \frac{(5+3 i) \cdot(4+2 i)}{(4-2 i) \cdot(4+2 i)}=\frac{20+10 i+12 i+6 i^{2}}{4^{2}-(2 i)^{2}}=\frac{14+22 i}{20} \end{aligned} \)
getzt mass in Real-and Imaginarteil autgeteilt verden:
\( \begin{array}{c} \frac{14}{20}+\frac{2 z_{i}}{20}=\frac{7}{10}+\frac{11}{10} i \\ -\text { TF: } \quad \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|} \cdot\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \cdot \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) \end{array} \)
Addition:
\( -N F:\left(a+b_{i}\right)+\left(c+d_{i}\right)=a+c+(b+d) ; i \)
- TF: \( \rightarrow N F \) nutzon
Subtraktion \( -N F:(a+b i)-(c+d i)=a-c+(b-d) \cdot i \) \( -T F: \rightarrow N F \) natzen