Wie zeigt man mit Hilfe der eulerschen Formel die Gültigkeit der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus?

Question

Wie zeigt man mit Hilfe der eulerischen Formel die Gültigkeit der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus ?

Geht das überhaupt?

Wenn ja, wie?

Answer 1

ja das geht.

$$ { e }^{ i(x+y) }={ e }^{ ix }{ e }^{ iy }\\cos(x+y)+isin(x+y)=(cos(x)+isin(x))(cos(y)+isin(y))\\cos(x+y)+isin(x+y)=cos(x)cos(y)+icos(x)sin(y)+isin(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\\cos(x+y)+isin(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)+i[sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)]\\\text{Vergleiche Real und Imaginärteil:}\\cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\\sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) $$