Question

Beweisen Sie, dass für alle  x, y ∈ R gilt:

cos(x) − cos(y) = −2 sin ( (x+y)/2 ) * sin ( (x-y) / 2)

Hinweis: Nutzen Sie eines der Additionstheoreme.

Wie soll ich es beweisen?

Answer 1

−2 sin ( (x+y)/2 ) * sin ( (x-y) / 2)
=−2 sin ( x/2 +y/2 ) * sin ( x/2 -y / 2)

=-2 * (sin(x/2)*cos(y/2)-cos(x/2)*sin(y/2) ) *  (sin(x/2)*cos(y/2)+cos(x/2)*sin(y/2)

mit 3. binomi. Formel

=-2 * (  (sin(x/2)*cos(y/2))²  -  (cos(x/2)*sin(y/2) )²  )

=-2  * ( (sin(x/2)²*cos(y/2)²    -   (cos(x/2)²*sin(y/2)²  )

sin(x/2)² durch  1-cos(x/2)² ersetzen  und sin(y/2)² durch  1-cos(y/2)²

=-2  * ( (1 - cos(x/2)² ) *cos(y/2)²    -   (cos(x/2)²*   ( 1-cos(y/2)² )  )

= -2  * ( cos(y/2)² - cos(x/2)²  *cos(y/2)²    -   cos(x/2)²   + cos(y/2)² *  cos(x/2)² )

= -2  * ( cos(y/2)²     -   cos(x/2)²  )

= 2  *  cos(x/2)²     - 2 * cos(x/2)²

und mit der Formel für cos(2a) = 2cos(a)² - 1

                    bzw.   2 cos(a)² =  cos(2a) + 1

die auch aus dem Add.theorem folgt gibt das

=  (cos(x)+1)   -  (cos(y)+1)   =  cos(x) - cos(y) .