Ungleichung lösen 2x-4/3 ≤ 7

Question

Wie kann ich diese Ungleichung lösen?

2x-4/3 ≤ 7

Ansatz/Problem:

Ich dachte zuerst mal den Zähler zu faktorisieren. Also 2(x-2)/3 und dann -7 zu rechnen

Da habe ich dann 2(x-2)-25/3 <,gleich 0 raus.

Ich gehe davon aus, dass das noch nicht alles ist und ich falsch vorgegangen bin?

Answer 1

Hi,

2x-4/3 <= 7 / +4/3    7=21/3

2x<=25/3   / 2

x<=25/6

LG

Answer 2

2x - 4/3 ≤ 7

6x - 4 ≤ 21

6x ≤ 25

x ≤ 25/6 = 4 + 1/6

Answer 3

2x - 4/3 ≤ 7

Du kannst auf beiden Seiten 4/3 addieren, ohne etwas an der Ungleichung zu ändern:

2x - 4/3 + 4/3 ≤ 7 + 4/3

2x ≤ 7 + 4/3

2x ≤ 21/3 + 4/3 = 25/3

Wenn man jetzt beide Seiten durch die positive Zahl 2 dividiert, ändert sich wiederum nichts an der Ungleichung:

x ≤ 25/6

Aufpassen musst Du bei solchen Aufgaben nur, wenn Du durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer solchen multiplizierst: Dann dreht sich das Ungleichungszeichen um (aus ≤ wird ≥ und umgekehrt).

Besten Gruß

Comments

Danke für die Antworten. Mir war nicht bewusst das ich den Bruch quasi auseinander ziehen kann und 4/3 alleine stehen kann. Ist das bei allen Brüchen der fall? Also kann ich Statt 3-2/4 auch 3 - 2/4 schreiben?

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Gern geschehen :-)

Zu Deiner Frage:

Ja, so sollte es sein.

Wenn Du zum Beispiel 3-2/4 hast, rechnest Du gemäß der Regel "Punktrechnung vor Strichrechnung" zuerst die 2/4 aus und erhältst 1/2. Und 3-1/2 = 2 1/2 = 2,5

Dies entspricht natürlich dem 3 - 2/4 = 3 - 1/2 = 2,5

Wenn Du außerdem in einem Term wie

2x - 4/3

auch noch eine Unbekannte x hast, dürftest Du ohne dieses "Auseinanderziehen" überhaupt nicht weiterkommen.

Anders wäre es bei zum Beispiel bei

2x - 4/3 * x

Dann käme das x aber zweimal vor und Du könntest es ausklammern

(2 - 4/3) * x = 2/3 * x

Ich hoffe, das hilft :-)

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@Fragesteller: Kann es sein, dass du in deiner Frage ein paar wichtige Klammern vergessen hast?

Du hast geschrieben 2x-4/3 ≤ 7, also \(2x-\frac{4}{3}\leq 7\).

Jetzt hast du oben aber geschrieben, dass du den Zähler faktorisiert hast. Und auch aufgrund deiner Nachfrage auf Brucybabes Antwort vermute ich, dass du folgendes meintest: (2x-4)/3 ≤ 7, also \(\frac{2x-4}{3}\leq 7\).

Answer 4

Ich gehe davon aus, dass das noch nicht alles ist

Das ist wohl wahr :-)

Fertig ist man bei dieser und ähnlichen Aufgaben erst, wenn man einen Ausdruck der Form

x ≤ Term  oder  x ≥ Term

erhalten hat.

Wie bei Gleichungen auch muss man also versuchen, die Variable x von all dem um sie herum stehenden "Ballast" frei zu schaufeln.

Deshalb ist der erste Schritt, den Summanden ohne x, also 4 / 3 nach rechts zu bringen, also:

2 x - ( 4 / 3 )  ≤ 7

Auf beiden Seiten 4 / 3 addieren:

<=> 2 x - ( 4 / 3 ) + ( 4 / 3 ) ≤ 7 + ( 4 / 3 )

<=> 2 x ≤ ( 21 / 3 )  + ( 4 / 3  )

<=> 2 x ≤ 25 / 3

Nun stört noch der Faktor 2 vor dem x. Diesen beseitigt man, indem man beide Seiten der Gleichung durch 2 dividiert:

<=> x ≤ ( 25 / 3 ) / 2

<=> x ≤ 25 / 6

Nun hat man einen Ausdruck der oben blau gesetzten Form und ist also fertig.

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist:

L = { x | x  x ≤ 25 / 6 }

 

Hier noch ein Schaubild dieser Ungleichung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-%284%2F3%29%3C%3D7

Comments

Nochmals Danke für diese ausführliche Antwort :)


Nun hänge ich bei folgender Aufgabe:

1/3(1-x)>=2(x-3)

Zunächst löse ich die klammern auf:


1/3 - 1/3 * x >= 2x - 6 Dann - 1/3

-1/3x >= 2x - 19/3 Dann -2x

-7x/3 >= -19/3

Da stimmt doch schon wieder irgendwas nicht :(

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Du hast alles richtig gemacht, in der letzten Zeile heißt es jedoch. (-7/3)x >= -19/3 Jetzt noch durch 7/3 teilen und fertig! :) x >= 57/21

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Danke für die schnelle Antwort. Ohne die Hilfe dieses Forums wäre ich schon längst aufgeschmissen, wirklich...


Ist es nicht dasselbe wenn ich -7x/3 und (-7/3)*x schreibe oder mache ich das, um zu verhindern nicht auch durch x zu dividieren?

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Es ist das Selbe! :) Musst du wissen, wie du es hinschreibst...