Abschätzung von Fakultäten (n/2)^{n/2} ≤ n! ≤ n^n

Question

Beweise eventuell mit vollständiger Induktion folgende Ungleichung: (n/2)^{n/2} ≤ n! ≤ n^n

Comments

Entschuldigung, danach kommt noch kleiner/gleich n! Und kleiner/gleich n hoch n

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(n/2)^{n/2} ≤ n!  ≤ n^n

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Ja, genau so.

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Habe es oben geändert.

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Und wie löst man das (die Aufgabe)? Übrigens HGF, wie hast du das gemacht?

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Weil ich weiß nicht, wie mans mit vollständiger Induktion macht

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Hallooo???)))

Answer 1

Ich nehme mal die rechte Seite

Induktionsanfang

n! ≤ n^n
für n = 1
1! ≤ 1^1 stimmt oder?

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)! ≤ (n + 1)^{n + 1}
n! * (n + 1) ≤ (n + 1)^n * (n + 1)
n! ≤ (n + 1)^n Die rechte Seite dürfen wir nach unten abschätzen
n! ≤ n^n

Das war aber die Induktionsannahme. Damit es es gezeigt.

Du solltest es jetzt genau so für die linke Seite machen.

Comments

Aber wenn man bei der linken Seite für n 1 einsetzt, dann ergibt es kein Sinn: (0,5) hoch (0,5) => geht nicht, oder irre ich mich?

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0,5^0,5 = (1/2)^1/2 = 1^1/2/((2)^1/2 ) = 1/√2

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Es kommt dann aber nicht 1 raus, muss es ja, oder?

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da steht ≤ und nicht =

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Nein muss es nicht. Es steht doch dort:

0.5^0.5 <= 1!

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Und dann, für (n+1): ((n+1)/2) ^ n/2 * (n+1), oder?

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[(n +1)/2]^{[(n +1)/2]}  ≤ (n +1)!

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Ja man soll es ja beweisen !?!?)))

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Ja wie Mathecoach angeregt hat, solltest du nun die linke Seite beweisen

Tipp: nⁿ ≤ (n +1)ⁿ

und immer schauen, wie ein Term zu einem Term steht (kleiner oder größer):

z.B. 0,9 < 1 , dann ist 0,8 erst recht kleiner als 1

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Dann ist n^n das Doppelte von (n/2)^{n/2}, oder wie?

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ist 4^4 das doppelte von 2^2 ???

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Nein. Dann weiß ich jetzt nicht mehr, wie ichs noch lösen kann, außer mit einem Beispiel, das ist aber dann ja keine Induktion

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[(n +1)/2]^{[(n +1)/2]}  ≤ (n +1)!

(n +1)^{[(n +1)/2]}/2^{[(n +1)/2]}  ≤ (n +1)*n!

(n +1)^n/2 *(n +1)^1/2/(2^n/2*2^1/2)  ≤ (n +1)*n!    |: (n+1)

(n +1)^n/2 /[(n +1)^1/2*2^n/2*2^1/2)]  ≤ n!  

n^n/2 /(n^1/2*2^n/2*2^1/2)  ≤ n!  

So, den Rest schaffst du .-)

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Ich komme irgendwie nur weiter zu: n^{1/2}•2^{n/2}•2^{1/2}= n!•n^{n/2}, aber das ist ja klar... Wie weiter?))

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Also jetzt bin ich gekommen zu: n^{n/2}:((2+n)^{1/2}+2^{n/2}) < = n!, und dann n/2+n^{n/2}:(2+n)^{1/2} < = n! Jetzt weiss ich nicht weiter, brauche Hilfe

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Wenn ich mich richtig erinner haben wir doch gerade für dich die schärfere Bedingung
n! >= (n)^{n/2} bewiesen. Dieses ist doch nur eine abgeschwächte Form. Die kannst du aber ganz exakt genau so beweisen.
Nun kannst du zeigen das du die andere Herleitung verstanden hast und sie hier mal anwenden.

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Ihr habt mir geholfen bei n! >= n^n, und hier ist es ja auch was ganz anderes

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Ok, aber da komme ich nur zu ((n+1):2)^n•((n+1):2) < = n^n•(n+1)^2