Jacobi-Matrix, Determinante, reguläre Punkte bestimmen

Question

Aufgabe:

Man berechne die Jacobi-Matrix J_f der Funktion f: R^3→R^3: f(r,θ,φ)  = \( \begin{pmatrix} r*cos(θ)sin(φ) \\ r*sin(θ)sin(φ) \\ r*cos(φ) \end{pmatrix} \)

Berechne die Determinante dieser Matrix. An welchen Punkten ist J_f (r,θ,φ) regulär?

Lösung:

Ausgerechnet für die Jacobi-Matrix habe ich:

J_f (r,θ,φ) = \( \begin{pmatrix} cos(θ)sin(φ) & -r*sin(θ)sin(φ) & r*cos(θ)cos(φ) \\ sin(θ)sin(φ) & r*cos(θ)sin(φ) & r*sin(θ)cos(φ) \\ cos(φ) & 0 & -r*sin(φ) \end{pmatrix} \)

Für die Determinante habe ich: -r²sin(φ)

An welchen Punkten ist die Jacobi-Matrix aber nun regulär? Hier weiß ich leider nicht weiter.

Answer 1

Irgendwo ist bei Dir ein Vorzeichenfehler drin, schaumal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

Die Jacobi Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist. Das trifft zu wenn die Determinate \( \ne 0 \) ist. Und das ist der Fall wenn \( r \ne 0 \) sowie \( \varphi \ne 0 \) und \( \varphi \ne \pi \) gilt.