Aloha :)
Wir betrachten die angegebene Funktion$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4^n}{n}\,(x+2)^n$$und bestimmen zunächst den Konvergenzradius
$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{4^n}{n}\cdot\frac{n+1}{4^{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{4^n}{4^{n+1}}\cdot\frac{n+1}{n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right|=\frac{1}{4}$$Die Funktion konvergiert also sicher für alle \(x\) mit der Eigenschaft:$$|x+2|<r=\frac{1}{4}\implies -\frac{1}{4}<x+2<\frac{1}{4}\implies -\frac{9}{4}<x<-\frac{7}{4}$$Wir schauen uns noch das Konvergenzverhalten an den Rändern an:$$f\left(-\frac{7}{4}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4^n}{n}\,\left(\frac{1}{4}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$$$f\left(-\frac{9}{4}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4^n}{n}\,\left(-\frac{1}{4}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}=-\ln(2)$$An der rechten Intervallgrenze erhalten wir die harmonische Reihe, die bekanntlich nicht konvergiert. An der linken Intervallgrenze erhalten wir eine bekannte Potenzreihe der Logarithmus-Funktion ;) Das Konvergenzintervall lässt sich also erweitern:$$x\in\left[-\frac{9}{4}\bigg|-\frac{7}{4}\right)$$
Zur Bestimmung der rationalen Funktion, nehmen wir im Folgenden an, dass \(x\) aus diesem Konvergenzintervall stammt, dass also der Grenzwert existiert:
$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4^n}{n}\,(x+2)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(4(x+2))^n}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(4x+8)^n}{n}$$Da wir uns innerhalb des Konvergenzintervalls bewegen, können wir die Summe ableiten, indem wir jeden einzelnen Summanden ableiten:
$$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(4x+8)^n}{n}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d}{dx}\left(\frac{(4x+8)^n}{n}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty4\cdot(4x+8)^{n-1}$$$$\phantom{f'(x)}=4\sum\limits_{n=0}^\infty(4x+8)^{n}=4\cdot\frac{1}{1-(4x+8)}=-\frac{4}{4x+7}$$Beachte, dass der Grenzwert der geometrischen Reihe für \(x\) im Konvergenzradius exisitert. Das kann man leicht integrieren:$$f(x)=-\ln|4x+7|+\text{const}$$Die Feststellung von oben, dass \(f(-9/4)=-\ln(2)\) gelten muss, liefert uns noch die Erkenntnis, dass die Integrationskonstante null sein muss:$$f(x)=-\ln|4x+7|$$
