"Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x) = x^2 + y^2 + z^2 unter der angegebenen Nebenbedingung.
x^2 + 2y^2 − z^2 = 4"
HB: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
NB: x^2 + 2y^2 − z^2 = 4 → y^2 = 2 - \( \frac{x^2}{2} \) +\( \frac{z^2}{2} \)
f(x,z) = x^2 + 2 - \( \frac{x^2}{2} \) + \( \frac{z^2}{2} \) + z^2
f(x,z) =\( \frac{1}{2} \) x^2 + \( \frac{3}{2} \) z^2 + 2
Nach x abgeleitet:
f´(x,z)= x→ x=0
Nach z abgeleitet:
f´(x,z)= 3z→ z=0
y^2 = 2 - \( \frac{x^2}{2} \) +\( \frac{z^2}{2} \)
y^2=2 → y_1= \( \sqrt[2]{2} \) und y_2= - \( \sqrt[2]{2} \)
Art der Extremwerte 2. Ableitung > 0 → Minimum
min { x^2+y^2+z^2 | x^2 + 2y^2 − z^2 = 4} = 2 bei (x,y,z)=(0,- \( \sqrt[2]{2} \),0)
min { x^2+y^2+z^2 | x^2 + 2y^2 − z^2 = 4} = 2 bei (x,y,z)=(0, \( \sqrt[2]{2} \),0)
mfG
Moliets
