Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f(x,y): x3 + 3x2 + y2 mit der Nebenbedingung g(x,y) = x2 + y2 = 1

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f(x,y): x³ + 3x² + y² mit der Nebenbedingung g(x,y) = x² + y² = 1

Problem/Ansatz:

Wir haben zwei Methoden gezeigt bekommen, einmal mit Lagrange, und einmal, wenn möglich, die NB umzustellen und in f einzusetzen. Ich habe letztere probiert. Wir haben nur eine Musterlösung mit Lagrange, ich habe mit der zweiten Methode aber andere Werte raus:

g(x,y) ⇔ y² = 1 - x²

F(x,y) = x³ + 3x² + 1 - x² = x³ + 2x² + 1

∇f(x,y) = \( \begin{pmatrix} 3x^2+4x\\0 \end{pmatrix} \)

Hf(x,y) = \( \begin{pmatrix} 6x+4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Gradient nullsetzen: 3x(x+4/3) => x = 0 oder x = -4/3

Dann kriege ich 2 kritische Punkte: P1 = (0,0) & P2 = (-4/3,0) .

Ist das bis hierhin richtig, insbesondere die zwei Punkte? Denn mit Lagrange hat der Prof. 4 mögliche Kandidaten gefunden.

Comments

Deine beiden Punkte genügen nicht der Nebenbedingung.

Answer 1

Es ist witzig, dass du hier mit einer Matrix und einem Gradienten arbeitest, obwohl du doch gerade erfolgreich y eliminiert hast und die Funktion jetzt nicht mehr f(x,y) ist sondern einfach nur noch f(x).

Mit erster und zweiter Ableitung bekommst du zwei Extremwertkandidaten, und wegen deiner Substitution y²=1-x² bekommst du für jedes "verdächtige" x die beiden Kandidaten \( y=\sqrt{1-x^2} \) und \( y=-\sqrt{1-x^2} \)

Comments

Also wie jetzt. Ich hab jetzt die erste Ableitung gebildet. Dann habe ich einen x wert raus: -4/3. Dann habe ich den in die zweite Ableitung eingesetzt, und dann den Wert -4 erhalten. Da er kleiner 0 ist, handelt es sich um einen Hochpunkt. Was muss ich nun tun?

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Ich komme mit der Determinanten Methode auf folgende Lösung:

det\( \begin{pmatrix} 3x^2+6x & 2x \\ 2y & 2y \end{pmatrix} \)

= (3x^2 + 6x) * 2y - 2y*2x = 6x^2y + 12xy - 4xy = 6x^2y + 8xy = 0

<=> 3xy(2x + 8/3) = 0

1. Fall: x = 0 (in NB einsetzen, dann y = + oder - 1. P1 = (0,-1), P2 (0,1).

2. Fall: y = 0 (in NB einsetzen, dann x = + oder -1. P3 = (1,0), P4 = (-1,0)

3. Fall (Klammer) : x = -4/3. Eingesetzt in NB: P5 = (-4/3, 5/3).

Diesen 5ten Fall kriege ich mit der normalen Lagrange Methode nicht, nur mit der Determinanten-Methode.

Die anderen 4 stimmen mit der Lösung überein. Sollte so alles stimmen, oder?